{"id":178578,"date":"2023-06-18T19:52:40","date_gmt":"2023-06-18T18:52:40","guid":{"rendered":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?p=178578"},"modified":"2023-10-30T11:43:20","modified_gmt":"2023-10-30T10:43:20","slug":"groessenreduzierung-wie-funktioniert-das","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/datascientest.com\/de\/groessenreduzierung-wie-funktioniert-das","title":{"rendered":"Gr\u00f6\u00dfenreduzierung: Wie funktioniert das?"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-post\" data-elementor-id=\"178578\" class=\"elementor elementor-178578\" data-elementor-post-type=\"post\">\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-33a8855 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"33a8855\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b92ae45 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"b92ae45\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-heading-title{padding:0;margin:0;line-height:1}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title[class*=elementor-size-]>a{color:inherit;font-size:inherit;line-height:inherit}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-small{font-size:15px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-medium{font-size:19px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-large{font-size:29px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xl{font-size:39px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xxl{font-size:59px}<\/style><h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Die Datenanalyse kann als experimentelle Wissenschaft betrachtet werden, bei der Eigenschaften nach ihrer Beobachtung nachgewiesen werden und heuristisch Codes zur Interpretation der Ergebnisse erstellt werden. Im Bereich des maschinellen Lernens (Machine Learning) und der Datenanalyse spielt die Dimensionsreduktion eine wesentliche Rolle, um komplexe Datens\u00e4tze zu vereinfachen.<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-05139b5 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"05139b5\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7a4454c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"7a4454c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-stacked .elementor-drop-cap{background-color:#69727d;color:#fff}.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-framed .elementor-drop-cap{color:#69727d;border:3px solid;background-color:transparent}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap{margin-top:8px}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap-letter{width:1em;height:1em}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap{float:left;text-align:center;line-height:1;font-size:50px}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap-letter{display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t<p>Die Grundidee der <strong>Dimensionsreduktion<\/strong> besteht darin, mehrdimensionale Daten in einem Raum mit viel geringerer Dimension darzustellen, w\u00e4hrend wichtige und relevante Informationen erhalten bleiben.<\/p><p>Bevor wir uns in weitere mathematische Details vertiefen, ist es wichtig, einige Schl\u00fcsselbegriffe zu verstehen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-abd1657 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"abd1657\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c485c4c elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"c485c4c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Das Vokabular der Dimensionsreduktion<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-fd02fef elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"fd02fef\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><strong>Dimensionsraum:<\/strong> Die Anzahl der Merkmale oder Variablen, die ein Objekt in einem Datenbestand beschreiben. Eine Datenbank, die Merkmale \u00fcber Personen sammelt, kann z. B. Variablen wie Alter, Einkommen, Adresse, Geschlecht und Bildungsniveau enthalten.<\/p><p>Dies definiert einen f\u00fcnfdimensionalen Raum. <br \/>Bei der Projektion werden die Daten aus einem hochdimensionalen Raum mithilfe von Techniken zur Dimensionsreduktion in einen niedrigdimensionalen Raum umgewandelt. Durch diese Transformation k\u00f6nnen die Daten kompakter dargestellt werden, w\u00e4hrend wichtige <strong>Informationen<\/strong> erhalten bleiben. <\/p><p><strong>Orthogonalit\u00e4t<\/strong> ist eine mathematische Eigenschaft, bei der zwei Vektoren oder zwei R\u00e4ume senkrecht zueinander stehen. Im Zusammenhang mit der Dimensionsreduktion wird Orthogonalit\u00e4t h\u00e4ufig verwendet, um Variablen oder Komponenten zu beschreiben, die unkorreliert zueinander sind.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-dd4c562 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"dd4c562\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Wenn die Daten in einer Tabelle dargestellt werden, erfolgt die Verringerung der Dimensionalit\u00e4t durch eine Verringerung der Anzahl der Spalten. Wenn unser <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/dataset-definition\">Dataset<\/a> aus mehr als drei Variablen besteht, wird es mit zunehmender Dimension schwieriger, es zu visualisieren. So ist es nicht m\u00f6glich, einen Datensatz mit 13 Attributen zu visualisieren, wohl aber mit nur 2 oder 3 Attributen. Das Ziel ist also, diese Daten auf die 2 oder 3 Achsen zu projizieren, die f\u00fcr den Informationsgehalt am wichtigsten sind, um die Darstellung der Daten so nah wie m\u00f6glich an den Daten in gro\u00dfen Dimensionen zu halten.<\/p><p>Ein sehr einfaches Beispiel: Angenommen, wir haben einen <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/datasets-top-5-websites-fuer-qualitativ-hochwertige-datensaetze\">Datensatz mit Informationen \u00fcber Sch\u00fcler,<\/a> der die folgenden 5 Variablen enth\u00e4lt, und jeder Sch\u00fcler wird durch eine Zeile im Datensatz repr\u00e4sentiert, wobei jede Variable einer Spalte entspricht.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5de6b03 elementor-widget elementor-widget-html\" data-id=\"5de6b03\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"html.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style type=\"text\/css\">\r\n.tg  {border-collapse:collapse;border-spacing:0;}\r\n.tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;\r\n  overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;}\r\n.tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;\r\n  font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;}\r\n.tg .tg-80go{font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;text-align:left;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-4lje{font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;text-align:center;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-7t5w{background-color:#6200c9;color:#efefef;font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;font-size:20px;\r\n  font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-pm1a{background-color:#6200c9;color:#efefef;font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;font-size:20px;\r\n  font-weight:bold;text-align:left;vertical-align:top}\r\n<\/style>\r\n<table class=\"tg\" style=\"undefined;table-layout: fixed; width: 600px\">\r\n<colgroup>\r\n<col style=\"width: 75px\">\r\n<col style=\"width: 50px\">\r\n<col style=\"width: 50px\">\r\n<col style=\"width: 50px\">\r\n<col style=\"width: 50px\">\r\n<col style=\"width: 75px\">\r\n<\/colgroup>\r\n<thead>\r\n  <tr>\r\n    <th class=\"tg-pm1a\">Student<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Alter<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Gr\u00f6sse<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Gewicht<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Mathe<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Wissenschaft<\/th>\r\n  <\/tr>\r\n<\/thead>\r\n<tbody>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Etudiant 1<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">18<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">165<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">60<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">85<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">90<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Etudiant 2<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">20<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">170<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">65<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">75<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">80<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Etudiant 3<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">19<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">175<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">70<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">90<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">95<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Etudiant 4<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">22<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">180<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">75<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">80<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">70<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-719e72d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"719e72d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Nach Anwendung der Hauptkomponentenanalyse zur <strong>Reduzierung der Dimension<\/strong> k\u00f6nnten wir einen neuen Datensatz mit weniger Variablen erhalten, z. B. indem wir nur die ersten beiden Hauptkomponenten beibehalten. Wir w\u00fcrden den folgenden Datensatz erhalten:<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1c0f42f elementor-widget elementor-widget-html\" data-id=\"1c0f42f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"html.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style type=\"text\/css\">\r\n.tg  {border-collapse:collapse;border-spacing:0;}\r\n.tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;\r\n  overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;}\r\n.tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;\r\n  font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;}\r\n.tg .tg-80go{font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;text-align:left;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-4lje{font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;text-align:center;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-7t5w{background-color:#6200c9;color:#efefef;font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;font-size:20px;\r\n  font-weight:bold;text-align:center;vertical-align:top}\r\n.tg .tg-pm1a{background-color:#6200c9;color:#efefef;font-family:\"Trebuchet MS\", Helvetica, sans-serif !important;font-size:20px;\r\n  font-weight:bold;text-align:left;vertical-align:top}\r\n<\/style>\r\n<table class=\"tg\" style=\"undefined;table-layout: fixed; width: 600px\">\r\n<colgroup>\r\n<col style=\"width: 75px\">\r\n<col style=\"width: 200px\">\r\n<col style=\"width: 200px\">\r\n<\/colgroup>\r\n<thead>\r\n  <tr>\r\n    <th class=\"tg-pm1a\">Student<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Hauptkomponente 1<\/th>\r\n    <th class=\"tg-7t5w\">Hauptkomponente 2<\/th>\r\n  <\/tr>\r\n<\/thead>\r\n<tbody>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Student 1<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">0.23<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">-0.12<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Student 2<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">-0.12<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">0.10<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Student 3<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">0.30<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">0.25<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n  <tr>\r\n    <td class=\"tg-80go\">Student 4<\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">-0.41<\/span><\/td>\r\n    <td class=\"tg-4lje\"><span style=\"font-weight:400;font-style:normal;text-decoration:none;color:#000;background-color:transparent\">-0.23<\/span><\/td>\r\n  <\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0a55260 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0a55260\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">So l\u00e4sst sich dieser Datensatz leicht in einem zweidimensionalen Diagramm darstellen:<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6d05815 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"6d05815\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-image{text-align:center}.elementor-widget-image a{display:inline-block}.elementor-widget-image a img[src$=\".svg\"]{width:48px}.elementor-widget-image img{vertical-align:middle;display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/image5-3.png\" title=\"\" alt=\"\" loading=\"lazy\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\"><\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6b58fa6 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"6b58fa6\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Gr\u00f6\u00dfenreduzierung lernen<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0f5f6ce e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"0f5f6ce\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-aea3164 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"aea3164\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Mehr \u00fcber die Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis, PCA)<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-77b33a8 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"77b33a8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Eine der am h\u00e4ufigsten verwendeten Methoden ist die Hauptkomponentenanalyse<strong> (Principal Component Analysis, PCA).<\/strong> Die PCA versucht, die Hauptrichtungen der Daten zu finden, die den gr\u00f6\u00dften Teil der beobachteten Varianz erkl\u00e4ren. Dazu verwenden wir den Begriff der Kovarianz.<\/p><p>Stellen wir unseren Datensatz, der aus n Beobachtungen (Stichproben) und p Variablen (Merkmalen) besteht, durch eine Matrix X der Gr\u00f6\u00dfe n x p dar. Vor der Anwendung der PCA wird oft empfohlen, die Variablen so zu standardisieren, dass sie einen Mittelwert von Null und eine Einheitsvarianz haben, damit Variablen mit unterschiedlichen Skalen die Analyse nicht dominieren.<\/p><p>Wir berechnen die Kovarianzmatrix von X, die wir mit C bezeichnen. Diese Matrix misst die linearen Beziehungen zwischen den Variablen. Sie wird mit der folgenden Formel berechnet: C = 1\/nXT X<br \/>Wir suchen nach den <strong>Eigenvektoren der Kovarianzmatrix C.<\/strong> Eigenvektoren sind Richtungen im Raum der Variablen, die die Varianz der Daten beschreiben. Die Eigenvektoren werden normalisiert, so dass ihre Norm 1 ist. <br \/>Wir ordnen diese Eigenvektoren in absteigender Reihenfolge ihres zugeh\u00f6rigen Eigenwerts an: \u03bd1 in Verbindung mit \u03bb1, \u03bd2 in Verbindung mit \u03bb2 und \u03bb1\u2265\u03bb2 und so weiter. Je h\u00f6her der Eigenwert, desto gr\u00f6\u00dfer ist die Varianz, die durch die entsprechende Richtung erkl\u00e4rt wird. <br \/>Man w\u00e4hlt eine Anzahl k von Hauptkomponenten (oft 1, 2 oder 3), die man behalten m\u00f6chte, und w\u00e4hlt die ersten k Eigenvektoren (\u03bd1, \u03bd2, &#8230; , \u03bdk) aus. Diese Eigenvektoren bilden eine Orthonormalbasis in dem neuen Raum mit reduzierter Dimension. Somit sind die neu erzeugten Variablen unkorreliert. Wir bezeichnen W als die Matrix, die von diesen ersten k Eigenvektoren gebildet wird.<br \/>Wir wollen nun unsere Daten in diesen neuen Raum projizieren, dessen eine Basis aus den Vektoren (\u03bd1, \u03bd2, &#8230; , \u03bdk) besteht. Um die Originaldaten in diesen Raum mit reduzierter Dimension zu projizieren, verwenden wir die folgende lineare Transformation: Y = XW, wobei Y den Koordinaten unserer Daten infolge der Projektion entspricht.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6833556 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6833556\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>F\u00fcr weitere Details \u00fcber die PCA kannst du unseren Artikel lesen, der speziell dieser Methode gewidmet ist.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-af2e7c3 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"af2e7c3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Es gibt noch andere Methoden zur <strong>Dimensionsreduktion,<\/strong> die bekanntesten sind nach wie vor :<\/p><ul><li><strong>LDA (linear discriminant analysis):<\/strong> Die lineare Diskriminanzanalyse, die es erm\u00f6glicht, voneinander unkorrelierte Richtungen zu identifizieren. Sie zielt darauf ab, eine lineare Projektion der Daten zu finden, die die Trennung zwischen den Klassen maximiert und gleichzeitig die Varianz innerhalb der Klassen minimiert.<\/li><li><strong>T-SNE (t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding):<\/strong> <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/t-sne-algorithmus\">T-SNE<\/a> ist eine nichtlineare Methode zur Dimensionsreduktion, mit der hochdimensionale Daten in einem Raum mit reduzierter Dimension (typischerweise 2D oder 3D) dargestellt werden k\u00f6nnen. Weitere Details zu diesem Thema findest du in diesem Artikel. t-NSE ist besonders geeignet, um komplexe Strukturen und nichtlineare Beziehungen in den Daten zu visualisieren.<\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-94b6cbd e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"94b6cbd\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-78bca86 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"78bca86\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Grenzen und Schwierigkeiten der Verkleinerung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-63411a4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"63411a4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Es ist wichtig zu beachten, dass die <strong>Verkleinerung der Dimension<\/strong> einen Kompromiss zwischen der Vereinfachung der Daten und dem Verlust von Informationen darstellt. Bei einer Verkleinerung der Dimension k\u00f6nnen einige subtile Informationen oder spezifische Details verloren gehen. Daher ist es entscheidend, das richtige Gleichgewicht zu finden, indem man eine angemessene Anzahl von Hauptkomponenten ausw\u00e4hlt, die den Gro\u00dfteil der relevanten Informationen erfassen.<\/p><p>Jede Methode hat ihre Vorteile und Grenzen, und die Wahl der Methode h\u00e4ngt vom spezifischen Kontext und den Zielen der Datenanalyse ab.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1c4285c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1c4285c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Wenn dir dieser Artikel gefallen hat, kannst du diese Methoden in unseren Kursen <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/weiterbildung-data-analyst\">Data Analyst<\/a> und Data Scientist genauer kennen lernen. Du kannst sie dir gerne ansehen!<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d0b2d04 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"d0b2d04\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Data Science Weiterbildung<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7dc898a elementor-widget elementor-widget-html\" data-id=\"7dc898a\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"html.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<script type=\"application\/ld+json\">.\n{\n  \"@context\": \"https:\/\/schema.org\",\n  \"@type\": \"FAQPage\",\n  \"mainEntity\": [{{\n    \"@type\": \"Frage\",\n    \"name\": \"Das Vokabular der Gr\u00f6\u00dfenreduzierung\",\n    \"acceptedAnswer\": {\n      \"@type\": \"Answer\",\n      \"text\": \"Dimensionsraum: Die Anzahl der Merkmale oder Variablen, die ein Objekt in einem Datenbestand beschreiben. Eine Datenbank, die Merkmale von Personen sammelt, kann z. B. Variablen wie Alter, Einkommen, Adresse, Geschlecht und Bildungsniveau enthalten. Dies definiert einen f\u00fcnfdimensionalen Raum. Bei der Projektion werden die Daten aus einem hochdimensionalen Raum mithilfe von Techniken zur Dimensionsreduktion in einen niedrigdimensionalen Raum umgewandelt. Diese Transformation erm\u00f6glicht es, die Daten kompakter darzustellen, w\u00e4hrend wichtige Informationen erhalten bleiben.\"\n    }\n  },{\n    \"@type\": \"Question\",\n    \"name\": \"Mehr \u00fcber die Hauptkomponentenanalyse (PCA)\",\n    \"acceptedAnswer\": {\n      \"@type\": \"Answer\",\n      \"text\": \"Eine der am h\u00e4ufigsten verwendeten Methoden ist die Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis, PCA). Die PCA versucht, die Hauptrichtungen der Daten zu finden, die den gr\u00f6\u00dften Teil der beobachteten Varianz erkl\u00e4ren. Dazu verwenden wir den Begriff der Kovarianz. 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