{"id":178997,"date":"2023-06-27T10:24:43","date_gmt":"2023-06-27T09:24:43","guid":{"rendered":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?p=178997"},"modified":"2023-10-30T12:05:11","modified_gmt":"2023-10-30T11:05:11","slug":"folgen-und-reihen-mathe-das-prinzip-verstehen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/datascientest.com\/de\/folgen-und-reihen-mathe-das-prinzip-verstehen","title":{"rendered":"Folgen und Reihen Mathe: Das Prinzip verstehen"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-post\" data-elementor-id=\"178997\" class=\"elementor elementor-178997\" data-elementor-post-type=\"post\">\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8b617f0 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"8b617f0\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-dd38926 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"dd38926\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-heading-title{padding:0;margin:0;line-height:1}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title[class*=elementor-size-]>a{color:inherit;font-size:inherit;line-height:inherit}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-small{font-size:15px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-medium{font-size:19px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-large{font-size:29px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xl{font-size:39px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xxl{font-size:59px}<\/style><h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">In diesem Artikel werden wir zwei Schl\u00fcsselbegriffe der Mathematik kennen lernen: Folgen und Reihen. Um sie vollst\u00e4ndig zu verstehen, sind einige Grundkenntnisse der Mathematik erforderlich. <\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-637c60a e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"637c60a\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-9e89f9c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"9e89f9c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-stacked .elementor-drop-cap{background-color:#69727d;color:#fff}.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-framed .elementor-drop-cap{color:#69727d;border:3px solid;background-color:transparent}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap{margin-top:8px}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap-letter{width:1em;height:1em}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap{float:left;text-align:center;line-height:1;font-size:50px}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap-letter{display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t<p><strong>Folgen und Reihen sind in der Mathematik<\/strong> weit verbreitet und k\u00f6nnen verwendet werden, um Folgen von mathematischen Objekten wie Polynomen, Zahlen, Mengen, Funktionen usw. zu definieren. Hier werden wir uns nur mit numerischen Folgen besch\u00e4ftigen, die Folgen von reellen Zahlen sind, und die Verbindung zwischen diesen und numerischen Reihen aufzeigen.<\/p><p>Eine Folge besteht aus mehreren Termen und jeder Term hat einen Rang. Zum Beispiel besteht die Folge 1, 2, 3, 4, 5 aus 5 Termen (1, 2, 3, 4, 5) und ihr jeweiliger Rang ist 0, 1, 2, 3, 4, wenn man 0 als den ersten Rang der Folge ansieht. Folgen werden auch im Bereich der <strong>Data Science<\/strong> verwendet, insbesondere wenn man mit Zeitreihen arbeitet.<\/p><p>Auch interessant:<\/p><table dir=\"ltr\" border=\"1\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\"><colgroup><col width=\"426\" \/><\/colgroup><tbody><tr><td data-sheets-value=\"{&quot;1&quot;:2,&quot;2&quot;:&quot;Mathe Funktionen&quot;}\" data-sheets-hyperlink=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/mathe-funktionen-in-5-wichtigen-punkten-erklaert\"><a class=\"in-cell-link\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/mathe-funktionen-in-5-wichtigen-punkten-erklaert\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Mathe Funktionen<\/a><\/td><\/tr><tr><td data-sheets-value=\"{&quot;1&quot;:2,&quot;2&quot;:&quot;Die Brownsche Bewegung&quot;}\" data-sheets-hyperlink=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/die-brownsche-bewegung-prinzip-und-praktische-anwendungen\"><a class=\"in-cell-link\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/die-brownsche-bewegung-prinzip-und-praktische-anwendungen\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Die Brownsche Bewegung<\/a><\/td><\/tr><tr><td data-sheets-value=\"{&quot;1&quot;:2,&quot;2&quot;:&quot;Python Zeitreihe&quot;}\" data-sheets-hyperlink=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/zeitreihe-python-verarbeitung-und-modellierung\"><a class=\"in-cell-link\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/zeitreihe-python-verarbeitung-und-modellierung\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Python Zeitreihe<\/a><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c5c5a99 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"c5c5a99\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d0319c5 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"d0319c5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Folgen und Reihen Mathematik: Wie definiert man eine reelle Folge?<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4028d5d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"4028d5d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Eine<strong> reelle Folge<\/strong> kann als eine Anwendung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n \\longrightarrow u_n<\/span> von der Menge der ganzen Zahlen auf die Menge der reellen Zahlen definiert werden und wird oft als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}<\/span> bezeichnet. Man kann eine Folge sogar mit einer Funktion vergleichen, die nur ganzzahlige Werte als Argument verwendet.<\/p><p>Zum Beispiel ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(n) = n<\/span>, mit einer ganzen Zahl, eine reelle Folge.<\/p><p>Es gibt verschiedene Arten von Folgen:<\/p><p>Sogenannte<strong> explizite Folgen,<\/strong> die wie im obigen Beispiel durch eine Formel definiert sind, z. B. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_n = cos(n)<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_n = \\frac{n-1}{n^2+3}<\/span>.<br \/>so genannte rekursive Folgen, bei denen ein Term von einem oder mehreren vorhergehenden Termen abh\u00e4ngt, z. B.: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_{n+1} = sin(u_n)<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_{n+2} = 2u_{n+1} &#8211; u_n<\/span>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-9b6277c e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"9b6277c\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f43d5f8 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"f43d5f8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Welche Eigenschaften hat eine Folge? <\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d238e68 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d238e68\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Eine Folge ist konstant, wenn alle ihre Terme gleich sind: f\u00fcr jedes n \u2208 N, un = u0.<\/p><p>Eine Folge ist station\u00e4r, wenn ab einem bestimmten Rang <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_0<\/span> alle ihre Terme gleich sind: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\exists n_0 \\in \\mathbb{N}, (n \\geq n_0 \\Rightarrow u_n=u_{n0})<\/span>.<\/p><p>Eine Folge ist periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl N gibt, so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\forall n \\in \\mathbb{N}, u_{n+N} = u_n<\/span>.<\/p><p>Eine Folge ist dann und nur dann steigend (bzw. fallend), wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n \\in \\mathbb{N}, u_n leq u_{n+1}<\/span> (bzw. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_{n+1} leq u_n<\/span>).<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-73011dd e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"73011dd\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3acde90 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"3acde90\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Suiten verstehen <\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2e75e29 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2e75e29\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Eine <strong>numerische Folge<\/strong> kann als Teilsumme der Terme einer numerischen Folge definiert werden. Wenn wir die Folge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}<\/span> betrachten, k\u00f6nnen wir ihr die Reihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u)_n<\/span> zuordnen, die als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u)_n = u_0+u_1+&#8230;+ u_n = \\sum_{k=0}^{n}u_k<\/span> definiert ist.<\/p><p>Der Term n der mit der Folge verbundenen Reihe kann also als die Summe der ersten n+1 Terme der Folge gesehen werden.<\/p><p>Wenn wir zum Beispiel die Folge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n) = n<\/span> nehmen, ist die mit dieser Folge verbundene Reihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u)_N = \\sum_{k=0}^{N}k = \\frac{N(N+1)}{2}<\/span>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4ed19f2 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"4ed19f2\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cd9ac32 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"cd9ac32\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h4 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Eigenschaften von Serien<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-672b241 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"672b241\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Es ist oft interessant zu sehen, ob eine Zahlenreihe konvergiert oder divergiert. Man sagt, dass eine Reihe mit dem allgemeinen Term <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)<\/span> konvergiert (bzw. divergiert), wenn die Folge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(S_N)<\/span> der Partialsummen konvergiert (bzw. divergiert). Wenn die Reihe konvergiert, ist der Grenzwert <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\limits_{N \\rightarrow + \\infty} S_N = \\limits_{N \\rightarrow + \\infty} \\sum_{n = 0}^{N} u_n<\/span> wird mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sum_{n = 0}^{{infty} u_n<\/span> bezeichnet und wird als <strong>Summe der Reihe bezeichnet.<\/strong><\/p><p><strong>Beispiel f\u00fcr eine divergierende Reihe:<\/strong> Die Reihe, die mit der Folge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n) = n<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u)_N = \\frac{N(N+1)}{2}<\/span> verbunden ist, divergiert.<\/p><p>Beispiel f\u00fcr eine <a href=\"https:\/\/www.massmatics.de\/merkzettel\/#!25:Konvergenzkriterien_fuer_Reihen\">konvergierende Reihe<\/a>: Die Reihe, die mit einer geometrischen Folge mit der Vernunft q verbunden ist, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u)_N = \\frac{1 &#8211; q^{N+1}}{1 &#8211; q}<\/span> konvergiert, wenn und nur wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|q| &lt; 1<\/span>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-57b769f e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"57b769f\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1e8712b elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1e8712b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Welche Verbindungen bestehen zwischen Fortsetzungen und Serien?<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1e47718 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1e47718\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Mathe Folgen und Reihen: Wir bilden st\u00e4ndig eine <strong>Reihe aus einer Folge<\/strong> und erinnern uns daran, dass eine Reihe die Teilsumme der ersten Terme der Folge ist. Man kann also leicht sagen, dass das Verhalten der Reihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(u_N)<\/span> eng mit dem der Reihe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)<\/span> verbunden ist.<\/p><p>Umgekehrt kann man, um eine Folge zu untersuchen, leicht auf eine Reihe zur\u00fcckgreifen. Wenn man zum Beispiel die Monotonie einer Folge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)<\/span> untersuchen will (auf Wachstum oder Abnahme pr\u00fcfen), kann man eine Nebenfolge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(v_n)<\/span> betrachten, die definiert ist durch : <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0 = 0<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_n = u_n &#8211; u_{n-1}<\/span>. Dann erh\u00e4lt man <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">u_n = \\sum_{k=0}^{n} v_k<\/span>. <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(u_n)<\/span> ist also die Partialsumme der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> der Reihe mit dem Term <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(v_n)<\/span>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b1dd15d e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"b1dd15d\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2fcbeed elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"2fcbeed\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Fazit<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-fe76fdb elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"fe76fdb\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Du wei\u00dft jetzt, was Zahlenfolgen und Zahlenreihen sind und wie diese beiden mathematischen Begriffe zusammenh\u00e4ngen. Du kennst auch einige Eigenschaften dieser verschiedenen mathematischen Objekte. Man kann diese Begriffe nat\u00fcrlich auch auf andere Arten von Objekten wie Polynome, Funktionen, Mengen usw. ausdehnen.<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-670e1a4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"670e1a4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Wenn du dich f\u00fcr Reihen und Folgen interessierst und mehr \u00fcber <strong>Zeitreihen erfahren m\u00f6chtest, kannst du an einem unserer Kurse in Data Science teilnehmen.<\/strong><\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-bdf528a elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"bdf528a\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Entdecke unsere Weiterbildungen<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel werden wir zwei Schl\u00fcsselbegriffe der Mathematik kennen lernen: Folgen und Reihen. 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