{"id":186177,"date":"2023-09-30T10:45:55","date_gmt":"2023-09-30T09:45:55","guid":{"rendered":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?p=186177"},"modified":"2023-09-30T10:46:55","modified_gmt":"2023-09-30T09:46:55","slug":"zentraler-grenzwertsatz-definition-und-beispiele","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/datascientest.com\/de\/zentraler-grenzwertsatz-definition-und-beispiele","title":{"rendered":"Zentraler Grenzwertsatz: Definition und Beispiele"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-post\" data-elementor-id=\"186177\" class=\"elementor elementor-186177\" data-elementor-post-type=\"post\">\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4f077ffa e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"4f077ffa\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-51f723e9 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"51f723e9\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-heading-title{padding:0;margin:0;line-height:1}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title[class*=elementor-size-]>a{color:inherit;font-size:inherit;line-height:inherit}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-small{font-size:15px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-medium{font-size:19px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-large{font-size:29px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xl{font-size:39px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xxl{font-size:59px}<\/style><h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Der zentrale Grenzwertsatz bekr\u00e4ftigt die Bedeutung der Normalverteilung und geh\u00f6rt zu den wichtigsten Konzepten der Statistik.<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-52e59f75 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"52e59f75\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-stacked .elementor-drop-cap{background-color:#69727d;color:#fff}.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-framed .elementor-drop-cap{color:#69727d;border:3px solid;background-color:transparent}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap{margin-top:8px}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap-letter{width:1em;height:1em}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap{float:left;text-align:center;line-height:1;font-size:50px}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap-letter{display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Aber was genau ist das? Wie wird es angewendet? Und vor allem: Wie wird es angewendet? Das wollen wir in diesem Artikel herausfinden.<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4ec64485 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"4ec64485\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5ecdbac2 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"5ecdbac2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Der zentrale Grenzwertsatz und die Konvergenz zur Normalverteilung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5d8006d4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"5d8006d4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Der<strong> zentrale Grenzwertsatz<\/strong> besagt, dass eine Reihe von Variablen, die auf demselben Raum definiert sind, gegen eine reduzierte zentrierte Normalverteilung konvergiert.<\/p><p><strong>\ud83d\udca1Anders ausgedr\u00fcckt:<\/strong> Je mehr unabh\u00e4ngige und identisch verteilte Zufallsvariablen addiert werden, desto mehr n\u00e4hert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der neuen Variablen einer Normalverteilung (auch Gau\u00dfsche Kurve oder Glockenkurve genannt). Dies gilt f\u00fcr alle Arten von <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/einfuehrung-in-die-wahrscheinlichkeitsrechnung-teil-1\">Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines Zufallsereignisses,<\/a> wie z. B. die kontinuierliche Gleichverteilung, die Dreiecksverteilung, die Exponentialverteilung etc.<\/p><p>Sobald dieses <strong>Ereignis oft genug wiederholt wird,<\/strong> konvergiert sein Mittelwert allm\u00e4hlich zu einer Normalverteilung. Selbst wenn die Verteilung anfangs (nach ein- oder zweimaliger Addition der Variablen) noch nicht normal war, wird sie mit zunehmender Addition der Variablen allm\u00e4hlich normal.<\/p><p>Es ist genau dieses Prinzip, das es Statistikern erm\u00f6glicht zu behaupten, dass die Normalverteilung das Gesetz der Naturph\u00e4nomene ist.<\/p><p><strong>Ein wenig Geschichte<\/strong>: Der zentrale Grenzwertsatz entstand bereits 1718 dank De Moivre, der die Bedeutung der Normalverteilung nachwies. Aber erst mit den Arbeiten von Pierre-Simon de Laplace im Jahr 1812 wurde der Satz wirklich auf spezielle F\u00e4lle angewendet. Erst 1920 wurde es durch <strong>George P\u00f3lya (&#8222;\u00dcber den zentralen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung,<\/strong> unter denen, die sich auf den Begriff des Grenzwertes beziehen, und das Problem der Momente&#8220;) als zentraler Grenzwertsatz bezeichnet.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4975572f elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"4975572f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Entdecke unsere Kurse<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5af70744 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"5af70744\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5609f85b elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"5609f85b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Die mathematische Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-64e70cf2 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"64e70cf2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Um den zentralen Grenzwertsatz zu berechnen, betrachte :<\/p><ul><li>X1, X2, &#8230; : als eine Folge von unabh\u00e4ngigen und identisch verteilten reellen Zufallsvariablen.<\/li><li>\u03c3 \u2260 0: Der Erwartungswert \u03bc und die Standardabweichung \u03c3 der D-Verteilung sind nicht unendlich.<\/li><li>Sn = X1+X2+X3 &#8230; : wie die Summe aller Zufallsvariablen.<\/li><li>n\u03bc: entspricht dem Erwartungswert von Sn.<\/li><li>\u03c3\u221an: entspricht der Standardabweichung von Sn.<\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5164dda elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"5164dda\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Der zentrale Grenzwertsatz besagt :<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7dea5c18 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"7dea5c18\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-image{text-align:center}.elementor-widget-image a{display:inline-block}.elementor-widget-image a img[src$=\".svg\"]{width:48px}.elementor-widget-image img{vertical-align:middle;display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"919\" height=\"299\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/09\/theoreme-central-limite.jpg\" class=\"attachment-full size-full wp-image-186181\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/09\/theoreme-central-limite.jpg 919w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/09\/theoreme-central-limite-300x98.jpg 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/09\/theoreme-central-limite-768x250.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 919px) 100vw, 919px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-50b58562 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"50b58562\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Hier ist der Erwartungswert von Znva 0 und die Standardabweichung 1. Mit anderen Worten: Die Variable ist zentriert und reduziert.<\/p><p>Zn tendiert also zur zentrierten reduzierten Normalverteilung, wenn n gegen unendlich geht.<\/p><p>F\u00fcr jede reelle Zahl z :<\/p><p>lim n\u2192\u221e P (Zn \u2264 z) = \u03a6(z).<\/p><p>wobei: \u03a6 die Verteilungsfunktion von \u039d(0,1) ist.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-587792ea e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"587792ea\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1e5378ff elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1e5378ff\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Beispiel f\u00fcr die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6f38b068 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6f38b068\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Um dir zu helfen, den Satz vom zentralen Grenzwert besser zu verstehen, hier ein konkretes Beispiel.<\/p><p>Marine und Julien w\u00fcrfeln. Jedes Mal, wenn sie auf eine gerade Zahl fallen, gewinnen sie 1 \u20ac, und jedes Mal, wenn sie auf eine ungerade Zahl fallen, verlieren sie 1 \u20ac. In diesem Fall sind die geraden und ungeraden Zahlen identisch verteilte Zufallsvariablen, denn Marine und Julien haben die gleiche Chance zu gewinnen wie zu verlieren. In den ersten Spielen kann es sein, dass die Waage mehr zu den geraden Zahlen (und damit zu den Gewinnen) oder zu den ungeraden Zahlen (und damit zu den Verlusten) ausschl\u00e4gt. Aber im Laufe des Spiels geht die Wahrscheinlichkeit, dass sie gewinnen oder verlieren, gegen 0.<\/p><p>Dieser zentrale Grenzwertsatz findet sich in vielen F\u00e4llen des t\u00e4glichen Lebens. Zum Beispiel die Gr\u00f6\u00dfe und das Gewicht von Individuen innerhalb einer Population, die Verteilung der Geh\u00e4lter innerhalb eines Unternehmens, &#8230; Der Durchschnitt dieser Ergebnisse \u00e4hnelt am Ende immer einer Glockenkurve, je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobe der Population wird,<\/p><p>Aufgrund der Vielzahl dieser Anwendungen ist der <strong>zentrale Grenzwertsatz<\/strong> ein unverzichtbares statistisches Werkzeug f\u00fcr <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/data-scientist-program-starte-durch\">Datenwissenschaftler,<\/a> da er ihnen die Modellierung von Machine-Learning-Modellen erm\u00f6glicht. Neben den Werkzeugen der Datenwissenschaft m\u00fcssen also auch die <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/mathe-funktionen-in-5-wichtigen-punkten-erklaert\">mathematischen Konzepte beherrscht werden.<\/a> Genau aus diesem Grund ist eine Ausbildung unerl\u00e4sslich. Entdecke unsere Programme.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-22da1750 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"22da1750\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Den zentralen Grenzwertsatz beherrschen<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-63c96633 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"63c96633\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5feca40a elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"5feca40a\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Was du dir merken solltest<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2ec1639c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2ec1639c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\">Identisch verteilte Zufallsvariablen folgen einer Normalverteilung, wenn sie addiert werden.<\/li><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\">Mit dieser Aussage unterstreicht der zentrale Grenzwertsatz die Bedeutung der Normalverteilung.<\/li><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\">Der Satz gilt f\u00fcr eine Vielzahl von Hypothesen, von einem Gl\u00fccksspiel bis hin zur Bestimmung des Durchschnittslohns oder der Bev\u00f6lkerungsgr\u00f6\u00dfe.<\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der zentrale Grenzwertsatz bekr\u00e4ftigt die Bedeutung der Normalverteilung und geh\u00f6rt zu den wichtigsten Konzepten der Statistik. 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