{"id":190952,"date":"2024-01-06T11:23:23","date_gmt":"2024-01-06T10:23:23","guid":{"rendered":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?p=190952"},"modified":"2024-01-04T14:47:33","modified_gmt":"2024-01-04T13:47:33","slug":"fibonacci-folge-rekursion-kryptographie-und-goldener-schnitt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/datascientest.com\/de\/fibonacci-folge-rekursion-kryptographie-und-goldener-schnitt","title":{"rendered":"Fibonacci Folge: Rekursion, Kryptographie und Goldener Schnitt"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-post\" data-elementor-id=\"190952\" class=\"elementor elementor-190952\" data-elementor-post-type=\"post\">\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5356f83 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"5356f83\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7841c83 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"7841c83\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-stacked .elementor-drop-cap{background-color:#69727d;color:#fff}.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-framed .elementor-drop-cap{color:#69727d;border:3px solid;background-color:transparent}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap{margin-top:8px}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap-letter{width:1em;height:1em}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap{float:left;text-align:center;line-height:1;font-size:50px}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap-letter{display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t<h2>In der Welt der Mathematik ist die Bedeutung von Folgen und Reihen in der Analysis nicht mehr zu leugnen. Manchmal ist es schwierig, eine konkrete Anwendung f\u00fcr Konzepte zu finden, die in diesem Bereich erfunden (oder entdeckt?) wurden. Die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> ist in vielen Bereichen der Natur zu finden und fasziniert Forscher immer wieder durch ihre Eigenschaften, die eng mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind.<\/h2>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-372e4dc e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"372e4dc\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c13fd58 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"c13fd58\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-heading-title{padding:0;margin:0;line-height:1}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title[class*=elementor-size-]>a{color:inherit;font-size:inherit;line-height:inherit}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-small{font-size:15px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-medium{font-size:19px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-large{font-size:29px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xl{font-size:39px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xxl{font-size:59px}<\/style><h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Geschichte und Hintergrund<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-620b396 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"620b396\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> wurde nach dem italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa aus dem 13. Jahrhundert benannt, der auch unter dem Namen Fibonacci bekannt ist. Obwohl er die Folge nicht erfunden hatte, f\u00fchrte er sie 1202 mit seinem Buch &#8222;Liber Abaci&#8220; (Buch des Abakus oder Buch der Berechnung) in Europa ein.<\/p><p>In diesem Buch stellte und l\u00f6ste Fibonacci ein Problem, das das Wachstum einer idealisierten Kaninchenpopulation beinhaltet, <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/folgen-und-reihen-mathe-das-prinzip-verstehen\">das zu dieser Zahlenfolge f\u00fchrt<\/a>. Es ist anzumerken, dass die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> schon lange vor diesem Datum in Indien bekannt war, wo die Beziehungen zwischen den Zahlen der Folge bereits untersucht wurden.<\/p><p>Die <strong>Fibonacci-Zahlen<\/strong> haben viele Anwendungen in der Natur und in der Kunst. Sie k\u00f6nnen in verschiedenen Ma\u00dfst\u00e4ben beobachtet werden, von Bl\u00fctenbl\u00e4ttern bis hin zu Galaxienspiralen. Bl\u00fctenbl\u00e4tter haben oft eine Fibonacci-Zahl &#8211; G\u00e4nsebl\u00fcmchen k\u00f6nnen 34, 55 oder sogar 89 Bl\u00fctenbl\u00e4tter haben. Au\u00dferdem sind Sonnenblumenkerne oder Tannenzapfen oft in Spiralen angeordnet, die den Fibonacci-Zahlen folgen.<\/p><p>In der Architektur wurde der Goldene Schnitt, der direkt mit der <strong>Fibonacci Folge<\/strong> verbunden ist, herangezogen, um Werke zu schaffen, die aufgrund ihrer &#8222;perfekten&#8220; Proportionen angenehm f\u00fcr das Auge sind. So scheinen zum Beispiel der Parthenon in Griechenland und das Taj Mahal in Indien beide den <strong>Goldenen Schnitt bei ihrer Konstruktion zu verwenden.<\/strong><\/p><p>Es ist diese Universalit\u00e4t, die die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> so faszinierend macht &#8211; eine einfache Zahlenfolge, die ihren <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/mathe-funktionen-in-5-wichtigen-punkten-erklaert\">Weg durch die Mathematik<\/a>, die Natur und die Kunst findet und Bereiche vereint, die auf den ersten Blick weit voneinander entfernt scheinen k\u00f6nnten. Im n\u00e4chsten Abschnitt schauen wir uns genauer an, was diese Zahlen sind und wie wir sie mithilfe der Programmiersprache Python selbst erzeugen k\u00f6nnen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7d4109b elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"7d4109b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-image{text-align:center}.elementor-widget-image a{display:inline-block}.elementor-widget-image a img[src$=\".svg\"]{width:48px}.elementor-widget-image img{vertical-align:middle;display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/image1.jpg\" title=\"\" alt=\"\" loading=\"lazy\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\"><\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-714caed elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"714caed\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Der Romanesco-Kohl birgt ein Geheimnis &#8211; z\u00e4hle die Anzahl der Spiralen, wenn du es schaffst!<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a4834f5 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"a4834f5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/weiterbildung-data-scientist\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Die Fibonacci-Folge besser verstehen<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-593cf8e e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"593cf8e\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0a5caed elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"0a5caed\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Definition und Implementierung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-536cdb4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"536cdb4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Formal ist die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> eine Folge, bei der jeder Term gleich der Summe der beiden Elemente ist, die ihm vorausgehen. Allein die Kenntnis der ersten beiden Terme und der <strong>Rekursionsformel<\/strong> reicht aus, um die Folge in ihrer Gesamtheit zu konstruieren.<\/p><p>$F_0 = 0$, $F_1 = 1$ und $F_n = F_{n-1}+ F_{n-2}$ f\u00fcr $n \\geq 2$.<\/p><p>Das <strong>Erstellen eines Programms<\/strong>, das die n-te Fibonacci-Zahl liefert, ist eine sehr gute elementare \u00dcbung. Bevor du weiterliest, kannst du versuchen, die Funktion selbst zu codieren!<\/p><p>Hier ist eine <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/top-10-der-nativen-python-funktionen\">Python-Funktion<\/a>, die das Problem l\u00f6st:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a7ecdbf elementor-widget elementor-widget-code-highlight\" data-id=\"a7ecdbf\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"code-highlight.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"prismjs-tomorrow copy-to-clipboard \">\n\t\t\t<pre data-line=\"\" class=\"highlight-height language-python \">\n\t\t\t\t<code readonly=\"true\" class=\"language-python\">\n\t\t\t\t\t<xmp>def fibonacci(n):\r\n    if n in {0, 1}:\r\n        return n\r\n    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)<\/xmp>\n\t\t\t\t<\/code>\n\t\t\t<\/pre>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d0cd024 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d0cd024\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Diese erste<strong> rekursive Implementierung<\/strong> mag zufriedenstellend sein, aber es gibt die M\u00f6glichkeit, diesen Code zu optimieren, indem man sich f\u00fcr einen iterativen Ansatz entscheidet. Rekursivit\u00e4t ist sehr restriktiv in Bezug auf die Rechenzeit; in Wirklichkeit ist die zeitliche Komplexit\u00e4t dieser Funktion in O(n\u00b2). In der Praxis bedeutet dies, dass die <strong>Funktion M\u00fche<\/strong> hat, ein Ergebnis in einer zufriedenstellenden Zeit zu liefern, wenn n gro\u00df ist (z. B. n = 40).<\/p><p>Hier ist ein neuer, <strong>diesmal iterativer Ansatz,<\/strong> der das gleiche Ergebnis mithilfe einer<a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/for-schleife-eine-wichtige-funktion-beim-programmieren\"> for-Schleife liefert:<\/a><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-58a87c5 elementor-widget elementor-widget-code-highlight\" data-id=\"58a87c5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"code-highlight.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"prismjs-tomorrow copy-to-clipboard \">\n\t\t\t<pre data-line=\"\" class=\"highlight-height language-python \">\n\t\t\t\t<code readonly=\"true\" class=\"language-python\">\n\t\t\t\t\t<xmp>def fibonacci(n):\r\n    a, b, c= 0, 1, 0\r\n    if n == 0:\r\n        return 0\r\n    for i in range(2, n+1):\r\n        c = a + b\r\n        a = b\r\n        b = c\r\n    return b<\/xmp>\n\t\t\t\t<\/code>\n\t\t\t<\/pre>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-59c09fa elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"59c09fa\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Eine M\u00f6glichkeit, diesen Code zu optimieren, w\u00e4re, die Elemente der Folge bei ihrer Einf\u00fchrung im Cache zu speichern, um redundante Berechnungen bei jedem Aufruf der Funktion zu vermeiden.<\/p><p>Au\u00dferdem gibt es eine mathematische Formel, die es erm\u00f6glicht, den genauen Term der Folge zu berechnen, ohne die Rekursion zu benutzen. Sie wird als Binet-Formel bezeichnet und verwendet den Goldenen Schnitt:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-700cdce elementor-widget elementor-widget-code-highlight\" data-id=\"700cdce\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"code-highlight.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"prismjs-tomorrow copy-to-clipboard \">\n\t\t\t<pre data-line=\"\" class=\"highlight-height language-python \">\n\t\t\t\t<code readonly=\"true\" class=\"language-python\">\n\t\t\t\t\t<xmp>def fibonacci(n):\r\n\r\n\r\n    sqrt5 = math.sqrt(5)\r\n\r\n\r\n    F_n = int((( (1 + sqrt5) ** n - (1 - sqrt5) ** n ) \/ ( 2 ** n * sqrt5 )))\r\n\r\n\r\n    return F_n<\/xmp>\n\t\t\t\t<\/code>\n\t\t\t<\/pre>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-67aa723 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"67aa723\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-9adc61d elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"9adc61d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Fazit<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3cf4620 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"3cf4620\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Die <strong>Fibonacci Folge<\/strong> findet man in vielen verschiedenen Bereichen, wie z. B. in der <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/krypto-lernen-werde-trader-oder-erschaffe-deine-eigene-waehrung$\">Kryptographie<\/a> oder beim <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/quantitative-analyse-was-ist-das-und-wie-wird-lernt-man-es\">Trading.<\/a> Mit ihrer Hilfe kann man eine Liste von Pseudozufallszahlen erzeugen oder ein elementares Verschl\u00fcsselungssystem erstellen. In der <a href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/wie-veraendert-data-science-die-finanzwelt\">Finanzwelt wird ein Werkzeug namens Fibonacci-Retracement-Niveau verwendet,<\/a> um abzusch\u00e4tzen, wie weit ein Verm\u00f6genswert zur\u00fcckfallen k\u00f6nnte, bevor er seine Trendbewegung wieder aufnimmt. In der Zeitreihenanalyse werden Fibonacci-Zahlen verwendet, um die optimale Anzahl von Zeitr\u00e4umen zu bestimmen, die bei der Berechnung von gleitenden Durchschnitten verwendet werden.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-419d95c elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"419d95c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/weiterbildung-data-scientist\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Die Fibonacci-Folge in der Data Science beherrschen<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In der Welt der Mathematik ist die Bedeutung von Folgen und Reihen in der Analysis nicht mehr zu leugnen. 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