{"id":209261,"date":"2025-08-18T06:30:00","date_gmt":"2025-08-18T05:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?p=209261"},"modified":"2025-08-11T15:52:37","modified_gmt":"2025-08-11T14:52:37","slug":"was-sind-markow-ketten","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten","title":{"rendered":"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-post\" data-elementor-id=\"209261\" class=\"elementor elementor-209261\" data-elementor-post-type=\"post\">\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2a48ab9 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"2a48ab9\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-625a9f5 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"625a9f5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-stacked .elementor-drop-cap{background-color:#69727d;color:#fff}.elementor-widget-text-editor.elementor-drop-cap-view-framed .elementor-drop-cap{color:#69727d;border:3px solid;background-color:transparent}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap{margin-top:8px}.elementor-widget-text-editor:not(.elementor-drop-cap-view-default) .elementor-drop-cap-letter{width:1em;height:1em}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap{float:left;text-align:center;line-height:1;font-size:50px}.elementor-widget-text-editor .elementor-drop-cap-letter{display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t<p><b>Ein Modell erf\u00fcllt die Markov-Eigenschaft, wenn sein Zustand zu einem Zeitpunkt T ausschlie\u00dflich vom Zustand zum Zeitpunkt T-1 abh\u00e4ngt. Kann man die Zust\u00e4nde des Modells zu jedem Zeitpunkt direkt beobachten, spricht man von einem <em data-start=\"368\" data-end=\"397\">beobachtbaren Markov-Modell<\/em>. Sind die Zust\u00e4nde hingegen nicht direkt sichtbar, handelt es sich um ein <em data-start=\"472\" data-end=\"499\">verstecktes Markov-Modell<\/em> (Hidden Markov Model). In diesem Artikel zeigen wir anhand von Beispielen, wie solche Modelle funktionieren und wof\u00fcr Markov-Ketten eingesetzt werden.<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-de87012 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"de87012\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-heading-title{padding:0;margin:0;line-height:1}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title[class*=elementor-size-]>a{color:inherit;font-size:inherit;line-height:inherit}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-small{font-size:15px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-medium{font-size:19px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-large{font-size:29px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xl{font-size:39px}.elementor-widget-heading .elementor-heading-title.elementor-size-xxl{font-size:59px}<\/style><h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Strenge mathematische Definition von Markov-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-fffd0a8 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"fffd0a8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<style>\/*! elementor - v3.15.0 - 02-08-2023 *\/\n.elementor-widget-image{text-align:center}.elementor-widget-image a{display:inline-block}.elementor-widget-image a img[src$=\".svg\"]{width:48px}.elementor-widget-image img{vertical-align:middle;display:inline-block}<\/style>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-77.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209264\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-77.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-77-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-77-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-77-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8680eb4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"8680eb4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p class=\"whitespace-normal break-words\">Mathematisch betrachtet ist eine Folge von Zufallsvariablen <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">XnX_n<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">X<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>, die Werte in einem Zustandsraum <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">EE<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">E<\/span><\/span><\/span><\/span> annehmen, eine Markov-Kette, wenn sie die schwache Markov-Eigenschaft erf\u00fcllt. Diese wird durch folgende Gleichung beschrieben:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d9586f4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d9586f4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<pre>P(X_{n+1} = i_{n+1} | X_1 = i_1, ..., X_n = i_n) = P(X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n)<\/pre>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cec2912 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"cec2912\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Diese Formel besagt, dass die \u00dcbergangswahrscheinlichkeit in den zuk\u00fcnftigen Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">in+1i_{n+1}<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><span class=\"mbin mtight\">+<\/span><span class=\"mord mtight\">1<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> <strong data-start=\"1120\" data-end=\"1127\">nur<\/strong> vom aktuellen Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">ini_n<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> abh\u00e4ngt \u2013 und nicht von der gesamten Abfolge vorheriger Zust\u00e4nde.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2dd0087 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"2dd0087\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Die Schl\u00fcsselelemente einer Markov-Kette<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-15e35be elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"15e35be\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul data-start=\"149\" data-end=\"710\"><li data-start=\"149\" data-end=\"350\"><p data-start=\"151\" data-end=\"350\"><strong data-start=\"151\" data-end=\"173\">Zustandsraum <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">EE<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">E<\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong>: Die Menge aller m\u00f6glichen Zust\u00e4nde, in denen sich das System befinden kann. Im meteorologischen Beispiel w\u00e4re das etwa <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">E={Sonne,Wolken,Regen}E = \\{\\text{Sonne}, \\text{Wolken}, \\text{Regen}\\}<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">E<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mopen\">{<\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">Sonne<\/span><\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">Wolken<\/span><\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">Regen<\/span><\/span><span class=\"mclose\">}<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/p><\/li><li data-start=\"352\" data-end=\"510\"><p data-start=\"354\" data-end=\"510\"><strong data-start=\"354\" data-end=\"387\">\u00dcbergangswahrscheinlichkeiten<\/strong>: <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">P(Xn+1=j\u2223Xn=i)P(X_{n+1} = j \\mid X_n = i)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">X<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><span class=\"mbin mtight\">+<\/span><span class=\"mord mtight\">1<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">j<\/span><span class=\"mrel\">\u2223<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">X<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span> gibt an, wie wahrscheinlich es ist, vom Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">ii<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><\/span><\/span><\/span> in den Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">jj<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">j<\/span><\/span><\/span><\/span> zu wechseln.<\/p><\/li><li data-start=\"512\" data-end=\"710\"><p data-start=\"514\" data-end=\"710\"><strong data-start=\"514\" data-end=\"539\">Zeitliche Homogenit\u00e4t<\/strong>: H\u00e4ngen diese \u00dcbergangswahrscheinlichkeiten nicht von der Zeit <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">nn<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><\/span><\/span><\/span> ab, spricht man von einer <em data-start=\"635\" data-end=\"646\">homogenen<\/em> Kette. Dieser Fall ist in der Praxis am weitesten verbreitet.<\/p><\/li><\/ul><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"712\" data-end=\"856\">Diese formale Darstellung grenzt Markov-Ketten klar von anderen stochastischen Prozessen ab \u2013 und bildet das Fundament ihrer gesamten Theorie.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-07d3a41 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"07d3a41\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f37a6fd elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"f37a6fd\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Geschichte und Grundlagen der Markov-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6e21b93 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"6e21b93\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-87.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209265\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-87.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-87-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-87-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-87-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c52ca8b elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"c52ca8b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"120\" data-end=\"361\">Markov-Ketten sind nach dem russischen Mathematiker Andre\u00ef Andre\u00efevitch Markov (1856\u20131922) benannt. Er f\u00fchrte das Konzept 1902 ein, als er untersuchte, wie sich das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen auf voneinander abh\u00e4ngige Gr\u00f6\u00dfen erweitern l\u00e4sst.<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"363\" data-end=\"627\">Urspr\u00fcnglich wollte Markov herausfinden, wie Wahrscheinlichkeitsgrenzen auch dann bestimmt werden k\u00f6nnen, wenn die einzelnen Ereignisse nicht unabh\u00e4ngig sind \u2013 sondern nur vom jeweils vorhergehenden Ereignis abh\u00e4ngen, nicht jedoch von der gesamten Vergangenheit.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-45b4e5d elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"45b4e5d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Die konzeptionelle Innovation<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-dee80cb elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"dee80cb\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"592\" data-end=\"920\">Seine zentrale Idee: Prozesse zu modellieren, bei denen die Zukunft nur durch die Gegenwart vom Vergangenen beeinflusst wird. Diese heute als <em data-start=\"770\" data-end=\"790\">Markov-Eigenschaft<\/em> bekannte Annahme l\u00e4sst sich knapp so ausdr\u00fccken: <em data-start=\"840\" data-end=\"918\">\u201eDie Vergangenheit z\u00e4hlt nur, soweit sie den aktuellen Zustand gepr\u00e4gt hat.\u201c<\/em><\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"922\" data-end=\"1228\">Markov selbst demonstrierte die Anwendbarkeit, indem er die Abfolge von Buchstaben in der russischen Literatur analysierte \u2013 insbesondere im Werk <em data-start=\"1068\" data-end=\"1082\">Eugen Onegin<\/em> von Puschkin. Damit zeigte er, dass sich mathematische Konzepte auch auf sprachliche und andere nicht-mathematische Bereiche \u00fcbertragen lassen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1271bb1 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1271bb1\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Moderne Entwicklungen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6414c15 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6414c15\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Seitdem haben sich Markov-Ketten zu einem unverzichtbaren Werkzeug in zahlreichen Disziplinen entwickelt \u2013 von der statistischen Physik \u00fcber die \u00d6konomie bis hin zur modernen k\u00fcnstlichen Intelligenz.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-654f8c2 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"654f8c2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-grus\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Auch interessant: Wie GRUs das Deep Learning revolutionieren<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-81d0b69 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"81d0b69\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2dbe540 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"2dbe540\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Beobachtbares Markov-Modell<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3470ff3 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"3470ff3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-85.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209266\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-85.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-85-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-85-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-85-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1d02e00 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1d02e00\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"105\" data-end=\"260\">Stell Dir vor, Du bist an einem verregneten Tag zu Hause eingesperrt und m\u00f6chtest wissen, wie sich das Wetter in den n\u00e4chsten f\u00fcnf Tagen entwickeln wird.<\/p><p data-start=\"262\" data-end=\"456\">Da Du kein Meteorologe bist, vereinfachst Du die Aufgabe und gehst davon aus, dass das Wetter einem Markov-Modell folgt: Der Wetterzustand an Tag <em data-start=\"408\" data-end=\"411\">J<\/em> h\u00e4ngt nur vom Wetter am Vortag (<em data-start=\"444\" data-end=\"449\">J-1<\/em>) ab.<\/p><p>Zur weiteren Vereinfachung nimmst Du an, dass es nur drei m\u00f6gliche Wetterlagen gibt: <strong data-start=\"543\" data-end=\"552\">Sonne<\/strong>, <strong data-start=\"554\" data-end=\"564\">Wolken<\/strong> oder <strong data-start=\"570\" data-end=\"579\">Regen<\/strong>. Basierend auf den Beobachtungen der letzten Monate erstellst Du ein \u00dcbergangsdiagramm mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-345f7a3 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"345f7a3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"472\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image1_markdown.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-168585\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image1_markdown.png 512w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image1_markdown-300x277.png 300w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f2eef3b elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f2eef3b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Die zugeh\u00f6rige <strong data-start=\"730\" data-end=\"749\">\u00dcbergangsmatrix<\/strong> liest sich so:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ea43025 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"ea43025\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"225\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image2_markdown.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-168586\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image2_markdown.png 512w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image2_markdown-300x132.png 300w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6a11e8e elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6a11e8e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"767\" data-end=\"848\"><p data-start=\"769\" data-end=\"848\">Wenn es heute regnet, liegt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Sonne morgen bei 35 %.<\/p><\/li><li data-start=\"849\" data-end=\"955\"><p data-start=\"851\" data-end=\"955\">Wenn es heute bew\u00f6lkt ist, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass es auch morgen bew\u00f6lkt bleibt, bei 25 %.<\/p><\/li><\/ul><p data-start=\"957\" data-end=\"1073\">Nun m\u00f6chtest Du berechnen, wie wahrscheinlich die konkrete Abfolge <strong data-start=\"1024\" data-end=\"1066\">Sonne \u2192 Sonne \u2192 Regen \u2192 Wolken \u2192 Sonne<\/strong> ist.<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"1075\" data-end=\"1254\">Da im Modell nur der jeweilige Vortag z\u00e4hlt, gen\u00fcgt es, die entsprechenden \u00dcbergangswahrscheinlichkeiten miteinander zu multiplizieren (unter der Annahme, dass es heute regnet).<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4bba899 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"4bba899\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1127\" height=\"139\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-142533.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209480\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-142533.png 1127w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-142533-300x37.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-142533-1024x126.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-142533-768x95.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1127px) 100vw, 1127px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e26f3b8 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"e26f3b8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Dieses Verfahren l\u00e4sst sich auf alle m\u00f6glichen Wetterabfolgen anwenden. Die Kombination mit der h\u00f6chsten Wahrscheinlichkeit ist dann die <strong data-start=\"1393\" data-end=\"1407\">Vorhersage<\/strong> f\u00fcr die n\u00e4chsten Tage.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a3cfd81 elementor-widget elementor-widget-shortcode\" data-id=\"a3cfd81\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"shortcode.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-shortcode\"><script src=\"https:\/\/gist.github.com\/MaximeRighini\/6632773a82550e7d1f7428db4031ebca.js\"><\/script><\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6298d64 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6298d64\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>In unserem Beispiel lassen sich so die f\u00fcnf wahrscheinlichsten Wetterfolgen bestimmen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0295e78 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"0295e78\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1002\" height=\"318\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-143126.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209481\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-143126.png 1002w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-143126-300x95.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-143126-768x244.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1002px) 100vw, 1002px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-244e108 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"244e108\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/data-scientist-vs-data-analyst-gemeinsamkeiten-und-unterschiede\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Data Scientist vs. Data Analyst - was sind die Unterschiede?<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-107b5a8 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"107b5a8\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7a4cc03 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"7a4cc03\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Grundlegende Eigenschaften der \u00dcbergangsmatrix<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c1e0935 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"c1e0935\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-83.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209267\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-83.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-83-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-83-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-83-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-18bb8f4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"18bb8f4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Die im vorherigen Beispiel verwendete \u00dcbergangsmatrix besitzt einige zentrale mathematische Eigenschaften, die f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis von Markov-Ketten entscheidend sind.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a74452f elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"a74452f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Struktur der Matrix<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e7fdb0b elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"e7fdb0b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"367\" data-end=\"440\">Eine \u00dcbergangsmatrix <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">P=(pij)P = (p_{ij})<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">p<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span> muss zwei Bedingungen erf\u00fcllen:<\/p><ul data-start=\"441\" data-end=\"573\"><li data-start=\"441\" data-end=\"507\"><p data-start=\"443\" data-end=\"507\"><strong data-start=\"443\" data-end=\"465\">Nicht-Negativit\u00e4t:<\/strong> <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">pij\u22650p_{ij} \\geq 0<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">p<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mrel\">\u2265<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span> f\u00fcr alle <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">i,ji, j<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord mathnormal\">j<\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><\/li><li data-start=\"508\" data-end=\"573\"><p data-start=\"510\" data-end=\"573\"><strong data-start=\"510\" data-end=\"530\">Zeilensumme = 1:<\/strong> <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u2211jpij=1\\sum_j p_{ij} = 1<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mop\"><span class=\"mop op-symbol small-op\">\u2211<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">j<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">p<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span> f\u00fcr alle <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">ii<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><\/li><\/ul><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"575\" data-end=\"749\">Die zweite Bedingung spiegelt wider, dass das System von jedem Zustand aus in einen der m\u00f6glichen Zust\u00e4nde \u00fcbergehen muss (einschlie\u00dflich des Verbleibs im aktuellen Zustand).<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-36b6eee elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"36b6eee\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Potenzen der Matrix \u2013 Mehrschritt-Prognosen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cc9c883 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"cc9c883\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Ein zentrales Merkmal ist, dass <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">PnP^n<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> (die n-te Potenz von <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">PP<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><\/span><\/span><\/span>) direkt die <strong data-start=\"886\" data-end=\"934\">\u00dcbergangswahrscheinlichkeiten in n Schritten<\/strong> liefert.<br data-start=\"943\" data-end=\"946\" \/>Das Element <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">(Pn)ij(P^n)_{ij}<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose\"><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> gibt an, wie gro\u00df die Wahrscheinlichkeit ist, in genau <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">nn<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><\/span><\/span><\/span> Schritten von Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">ii<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">i<\/span><\/span><\/span><\/span> in Zustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">jj<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">j<\/span><\/span><\/span><\/span> zu gelangen.<\/p><p><strong data-start=\"1101\" data-end=\"1114\">Beispiel:<\/strong><br data-start=\"1114\" data-end=\"1117\" \/>Mit <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">P10P^{10}<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">10<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> erh\u00e4lt man die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr alle m\u00f6glichen Zustandswechsel \u00fcber einen Zeitraum von 10 Tagen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b77e249 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"b77e249\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Konvergenz zur station\u00e4ren Verteilung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ecde8b2 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"ecde8b2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1286\" data-end=\"1571\">Unter bestimmten Bedingungen konvergieren die Potenzen der Matrix <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">PP<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><\/span><\/span><\/span> gegen eine <strong data-start=\"1371\" data-end=\"1386\">Grenzmatrix<\/strong>, deren Zeilen alle identisch sind.<br data-start=\"1421\" data-end=\"1424\" \/>Diese identische Zeile beschreibt die <strong data-start=\"1462\" data-end=\"1487\">station\u00e4re Verteilung<\/strong> \u2013 die langfristige Wahrscheinlichkeit f\u00fcr jeden Zustand, unabh\u00e4ngig vom Startpunkt.<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"1573\" data-end=\"1742\"><strong data-start=\"1573\" data-end=\"1603\">In unserem Wetterbeispiel:<\/strong><br data-start=\"1603\" data-end=\"1606\" \/>Nach vielen Tagen wird es einen konstanten Prozentsatz geben, wie oft Sonne, Wolken oder Regen auftreten, der sich nicht mehr ver\u00e4ndert.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-45ae3a0 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"45ae3a0\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2cd5778 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"2cd5778\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Klassifikation der Zust\u00e4nde in einer Markov-Kette<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4823724 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"4823724\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-93.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209268\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-93.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-93-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-93-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-93-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5440e26 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"5440e26\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Sobald die \u00dcbergangsmatrix erstellt ist, lohnt es sich, das <strong data-start=\"251\" data-end=\"272\">Langzeitverhalten<\/strong> der einzelnen Zust\u00e4nde zu untersuchen.<br data-start=\"311\" data-end=\"314\" \/>Daraus ergibt sich eine Klassifikation, die bei der Analyse der Kette entscheidend ist.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-818e9d3 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"818e9d3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Transiente und rekurrente Zust\u00e4nde<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0f1537b elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0f1537b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"446\" data-end=\"521\"><p data-start=\"448\" data-end=\"521\"><strong data-start=\"448\" data-end=\"462\">Transient:<\/strong> Ein Zustand, den man m\u00f6glicherweise nie wieder erreicht.<\/p><\/li><li data-start=\"522\" data-end=\"627\"><p data-start=\"524\" data-end=\"627\"><strong data-start=\"524\" data-end=\"538\">Rekurrent:<\/strong> Ein Zustand, der mit Sicherheit irgendwann erneut auftritt, unabh\u00e4ngig vom Startpunkt.<\/p><\/li><\/ul><p><strong data-start=\"629\" data-end=\"642\">Beispiel:<\/strong><br data-start=\"642\" data-end=\"645\" \/>F\u00fcgen wir im Wettermodell den Zustand \u201eSturm\u201c hinzu, aus dem man nur in \u201eRegen\u201c gelangt und nie zur\u00fcckkehrt, w\u00e4re \u201eSturm\u201c <strong data-start=\"767\" data-end=\"780\">transient<\/strong>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-944a9a3 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"944a9a3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Absorbierende Zust\u00e4nde<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8d75242 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"8d75242\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"814\" data-end=\"911\">Ein Zustand ist <strong data-start=\"830\" data-end=\"846\">absorbierend<\/strong>, wenn <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">pii=1p_{ii} = 1<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">p<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ii<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span> gilt \u2013 man kann ihn nicht mehr verlassen.<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"913\" data-end=\"1041\"><strong data-start=\"913\" data-end=\"926\">Beispiel:<\/strong><br data-start=\"926\" data-end=\"929\" \/>In einem Lebensdauermodell (\u201ejuvenil\u201c \u2192 \u201eerwachsen\u201c \u2192 \u201eseneszent\u201c \u2192 \u201everstorben\u201c) ist \u201everstorben\u201c absorbierend.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4e838ca elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"4e838ca\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Irreduzible Markov-Ketten<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d795982 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d795982\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1070\" data-end=\"1237\">Eine Markov-Kette ist <strong data-start=\"1085\" data-end=\"1100\">irreduzibel<\/strong>, wenn jeder Zustand von jedem anderen aus erreichbar ist.<br data-start=\"1158\" data-end=\"1161\" \/>Das gew\u00e4hrleistet die <strong data-start=\"1183\" data-end=\"1236\">Existenz einer eindeutigen station\u00e4ren Verteilung<\/strong>.<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"1239\" data-end=\"1364\"><strong data-start=\"1239\" data-end=\"1252\">Beispiel:<\/strong><br data-start=\"1252\" data-end=\"1255\" \/>Im meteorologischen Modell kann man von \u201eSonne\u201c zu \u201eRegen\u201c (\u00fcber \u201eWolken\u201c) und umgekehrt \u2013 daher irreduzibel.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8d474a2 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"8d474a2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Periodizit\u00e4t<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-bd5ec7c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"bd5ec7c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Ein Zustand hat die Periode <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">dd<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><\/span><\/span><\/span>, wenn er nur zu Zeitpunkten erreicht werden kann, die ein Vielfaches von <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">dd<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><\/span><\/span><\/span> sind.<br data-start=\"1509\" data-end=\"1512\" \/>Bei <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">d=1d = 1<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span> ist er <strong data-start=\"1535\" data-end=\"1550\">aperiodisch<\/strong>.<br data-start=\"1551\" data-end=\"1554\" \/>Eine irreduzible und aperiodische Kette <strong data-start=\"1594\" data-end=\"1615\">konvergiert immer<\/strong> zur station\u00e4ren Verteilung.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6058d6a elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"6058d6a\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/citizen-data-scientist-was-ist-das-und-welche-vorteile-hat-es-fuer-dein-unternehmen\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Was ist ein Citizen Data Scientist?<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-48d9400 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"48d9400\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-15b26ae elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"15b26ae\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Station\u00e4re Verteilung und Konvergenz zum Gleichgewicht<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b3bdf7d elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"b3bdf7d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209269\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-de83e29 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"de83e29\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Was ist eine station\u00e4re Verteilung?<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6419d93 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6419d93\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"200\" data-end=\"353\">Eine <strong data-start=\"205\" data-end=\"230\">station\u00e4re Verteilung<\/strong> <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0\\pi<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><\/span><\/span><\/span> ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor, der sich durch die Anwendung der \u00dcbergangsmatrix <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">PP<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><\/span><\/span><\/span> <strong data-start=\"333\" data-end=\"352\">nicht ver\u00e4ndert<\/strong>:<\/p><p><span class=\"katex-display\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0=\u03c0P\\pi = \\pi P<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><p data-start=\"374\" data-end=\"486\">Beispiel (Meteorologie):<br data-start=\"398\" data-end=\"401\" \/>Ist <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0=(0,4,0,3,0,3)\\pi = (0{,}4, 0{,}3, 0{,}3)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mpunct\">,<\/span><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mpunct\">,<\/span><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mpunct\">,<\/span><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span> f\u00fcr <strong data-start=\"443\" data-end=\"469\">(Sonne, Wolken, Regen)<\/strong>, bedeutet das:<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"487\" data-end=\"577\"><li data-start=\"487\" data-end=\"513\"><p data-start=\"489\" data-end=\"513\">langfristig 40 % Sonne<\/p><\/li><li data-start=\"514\" data-end=\"529\"><p data-start=\"516\" data-end=\"529\">30 % Wolken<\/p><\/li><li data-start=\"530\" data-end=\"577\"><p data-start=\"532\" data-end=\"577\">30 % Regen<br data-start=\"542\" data-end=\"545\" \/>unabh\u00e4ngig vom aktuellen Wetter.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-18bcbb4 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"18bcbb4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Existenz und Einzigkeit<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5018265 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"5018265\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"612\" data-end=\"677\">F\u00fcr <strong data-start=\"616\" data-end=\"631\">irreduzible<\/strong> Markov-Ketten mit <strong data-start=\"650\" data-end=\"676\">endlichem Zustandsraum<\/strong>:<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"678\" data-end=\"811\"><li data-start=\"678\" data-end=\"740\"><p data-start=\"680\" data-end=\"740\">Existiert immer <strong data-start=\"696\" data-end=\"737\">eine eindeutige station\u00e4re Verteilung<\/strong>.<\/p><\/li><li data-start=\"741\" data-end=\"811\"><p data-start=\"743\" data-end=\"811\">Das System zeigt langfristig ein stabiles, vorhersehbares Verhalten.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0b99cc8 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"0b99cc8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Der ergodische Satz<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6a6a766 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6a6a766\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"842\" data-end=\"899\">F\u00fcr eine <strong data-start=\"851\" data-end=\"866\">irreduzible<\/strong> und <strong data-start=\"871\" data-end=\"887\">aperiodische<\/strong> Kette gilt:<\/p><ol data-start=\"901\" data-end=\"1186\"><li data-start=\"901\" data-end=\"1017\"><p data-start=\"904\" data-end=\"1017\"><strong data-start=\"904\" data-end=\"919\">Konvergenz:<\/strong><br data-start=\"919\" data-end=\"922\" \/>Die Wahrscheinlichkeiten n\u00e4hern sich unabh\u00e4ngig vom Startzustand der station\u00e4ren Verteilung.<\/p><\/li><li data-start=\"1018\" data-end=\"1186\"><p data-start=\"1021\" data-end=\"1186\"><strong data-start=\"1021\" data-end=\"1058\">Starkes Gesetz der gro\u00dfen Zahlen:<\/strong><br data-start=\"1058\" data-end=\"1061\" \/>Der Anteil der Zeit, den das System in einem Zustand verbringt, entspricht langfristig der station\u00e4ren Wahrscheinlichkeit.<\/p><\/li><\/ol><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"1188\" data-end=\"1358\"><strong data-start=\"1188\" data-end=\"1201\">Beispiel:<\/strong><br data-start=\"1201\" data-end=\"1204\" \/>Hat eine Maschine eine station\u00e4re Wahrscheinlichkeit von <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">0,950{,}95<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mpunct\">,<\/span><\/span><span class=\"mord\">95<\/span><\/span><\/span><\/span> f\u00fcr \u201efunktionsf\u00e4hig\u201c, wird sie auf lange Sicht <strong data-start=\"1321\" data-end=\"1338\">95 % der Zeit<\/strong> einsatzbereit sein.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8b17c1d elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"8b17c1d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Praktische Anwendungen der Ergodizit\u00e4t<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-78fb8f3 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"78fb8f3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1408\" data-end=\"1520\"><p data-start=\"1410\" data-end=\"1520\"><strong data-start=\"1410\" data-end=\"1435\">Industrielle Planung:<\/strong><br data-start=\"1435\" data-end=\"1438\" \/>Verf\u00fcgbarkeit, Auslastung und Wartungsintervalle lassen sich pr\u00e4zise absch\u00e4tzen.<\/p><\/li><li data-start=\"1521\" data-end=\"1681\"><p data-start=\"1523\" data-end=\"1681\"><strong data-start=\"1523\" data-end=\"1552\">Monte-Carlo-Simulationen:<\/strong><br data-start=\"1552\" data-end=\"1555\" \/>Lange laufende Ketten liefern Stichproben, die der Zielverteilung folgen \u2013 Grundlage f\u00fcr viele moderne Sampling-Algorithmen.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-56745a3 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"56745a3\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1878165 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1878165\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Praktische \u00dcbungen zur Beherrschung von Markov-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d2a8813 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"d2a8813\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-84.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209270\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-84.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-84-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-84-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-84-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f23dde7 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f23dde7\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Um das Verst\u00e4ndnis zu festigen, folgen vier klassische \u00dcbungsaufgaben, jeweils mit L\u00f6sung.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-819a3d4 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"819a3d4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">\u00dcbung 1: Ehrenfestsches Urnenmodell<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d022b34 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d022b34\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"317\" data-end=\"514\">Eine Urne enth\u00e4lt <strong data-start=\"335\" data-end=\"359\">4 nummerierte Kugeln<\/strong>.<br data-start=\"360\" data-end=\"363\" \/>In jedem Schritt wird eine Kugel zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt und in die andere Urne gelegt.<br data-start=\"446\" data-end=\"449\" \/>Der <strong data-start=\"453\" data-end=\"464\">Zustand<\/strong> ist die Anzahl der Kugeln in der <strong data-start=\"498\" data-end=\"508\">ersten<\/strong> Urne.<\/p><p data-start=\"516\" data-end=\"588\"><strong data-start=\"516\" data-end=\"526\">Frage:<\/strong><br data-start=\"526\" data-end=\"529\" \/>Bestimme die \u00dcbergangsmatrix und die station\u00e4re Verteilung.<\/p><p data-start=\"590\" data-end=\"603\"><strong data-start=\"590\" data-end=\"601\">L\u00f6sung:<\/strong><\/p><ul data-start=\"604\" data-end=\"832\"><li data-start=\"604\" data-end=\"641\"><p data-start=\"606\" data-end=\"641\">Zust\u00e4nde: {0,1,2,3,4}\\{0, 1, 2, 3, 4\\}<span aria-hidden=\"true\">{0,1,2,3,4}<\/span><\/p><\/li><li data-start=\"642\" data-end=\"770\"><p data-start=\"644\" data-end=\"674\">Wechselwahrscheinlichkeiten:<\/p><ul data-start=\"677\" data-end=\"770\"><li data-start=\"677\" data-end=\"720\"><p data-start=\"679\" data-end=\"720\">Von Zustand ii<span aria-hidden=\"true\">i<\/span> zu i\u22121i-1<span aria-hidden=\"true\">i\u22121<\/span>: i\/4i\/4<span aria-hidden=\"true\">i\/4<\/span><\/p><\/li><li data-start=\"723\" data-end=\"770\"><p data-start=\"725\" data-end=\"770\">Von Zustand ii<span aria-hidden=\"true\">i<\/span> zu i+1i+1<span aria-hidden=\"true\">i+1<\/span>: (4\u2212i)\/4(4-i)\/4<span aria-hidden=\"true\">(4\u2212i)\/4<\/span><\/p><\/li><\/ul><\/li><li data-start=\"771\" data-end=\"832\"><p data-start=\"773\" data-end=\"832\">Station\u00e4re Verteilung folgt einer <strong data-start=\"807\" data-end=\"829\">Binomialverteilung<\/strong>: \u03c0(i) = C(4,i)\/16, also \u03c0 = (1\/16, 4\/16, 6\/16, 4\/16, 1\/16).<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4762502 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"4762502\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">\u00dcbung 2: Zuf\u00e4lliger Gang auf einem Graphen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3da50b5 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"3da50b5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1023\" data-end=\"1180\">Ein Spielstein bewegt sich auf einem Quadrat mit den Ecken <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">A,B,C,DA, B, C, D<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">A<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord mathnormal\">B<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord mathnormal\">C<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mord mathnormal\">D<\/span><\/span><\/span><\/span>.<br data-start=\"1099\" data-end=\"1102\" \/>In jedem Schritt geht er <strong data-start=\"1127\" data-end=\"1152\">gleich wahrscheinlich<\/strong> zu einer benachbarten Ecke.<\/p><p data-start=\"1182\" data-end=\"1194\"><strong data-start=\"1182\" data-end=\"1192\">Frage:<\/strong><\/p><ul data-start=\"1195\" data-end=\"1266\"><li data-start=\"1195\" data-end=\"1225\"><p data-start=\"1197\" data-end=\"1225\">Ist die Kette irreduzibel?<\/p><\/li><li data-start=\"1226\" data-end=\"1241\"><p data-start=\"1228\" data-end=\"1241\">Periodisch?<\/p><\/li><li data-start=\"1242\" data-end=\"1266\"><p data-start=\"1244\" data-end=\"1266\">Mittlere R\u00fcckkehrzeit?<\/p><\/li><\/ul><p data-start=\"1268\" data-end=\"1281\"><strong data-start=\"1268\" data-end=\"1279\">L\u00f6sung:<\/strong><\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"1282\" data-end=\"1477\"><li data-start=\"1282\" data-end=\"1351\"><p data-start=\"1284\" data-end=\"1351\"><strong data-start=\"1284\" data-end=\"1300\">Irreduzibel:<\/strong> Ja \u2013 jede Ecke ist von jeder anderen erreichbar.<\/p><\/li><li data-start=\"1352\" data-end=\"1432\"><p data-start=\"1354\" data-end=\"1432\"><strong data-start=\"1354\" data-end=\"1371\">Periodizit\u00e4t:<\/strong> Ja, Periode <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">d=2d=2<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span> (R\u00fcckkehr nur in gerader Schrittzahl).<\/p><\/li><li data-start=\"1433\" data-end=\"1477\"><p data-start=\"1435\" data-end=\"1477\"><strong data-start=\"1435\" data-end=\"1461\">Mittlere R\u00fcckkehrzeit:<\/strong> <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">44<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\">4<\/span><\/span><\/span><\/span> Schritte.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f654971 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"f654971\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">\u00dcbung 3: Lebensdauer-Modell<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0fb45b8 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0fb45b8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Zust\u00e4nde: juvenil (J), reif (M), seneszent (S), verstorben (D).<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b512709 elementor-widget elementor-widget-code-highlight\" data-id=\"b512709\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"code-highlight.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"prismjs-default copy-to-clipboard \">\n\t\t\t<pre data-line=\"\" class=\"highlight-height language-javascript line-numbers\">\n\t\t\t\t<code readonly=\"true\" class=\"language-javascript\">\n\t\t\t\t\t<xmp>J    M    S    D\nJ [0.6  0.4  0    0  ]\nM [0    0.7  0.3  0  ]\nS [0    0    0.8  0.2]\nD [0    0    0    1  ]<\/xmp>\n\t\t\t\t<\/code>\n\t\t\t<\/pre>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1be4414 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1be4414\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1723\" data-end=\"1819\"><strong data-start=\"1723\" data-end=\"1733\">Frage:<\/strong><br data-start=\"1733\" data-end=\"1736\" \/>Wahrscheinlichkeit, dass ein juveniler Organismus den Zustand \u201eseneszent\u201c erreicht?<\/p><p data-start=\"1821\" data-end=\"1834\"><strong data-start=\"1821\" data-end=\"1832\">L\u00f6sung:<\/strong><\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"1835\" data-end=\"1936\"><li data-start=\"1835\" data-end=\"1890\"><p data-start=\"1837\" data-end=\"1890\">Jeder reife Organismus erreicht \u201eS\u201c mit Sicherheit.<\/p><\/li><li data-start=\"1891\" data-end=\"1936\"><p data-start=\"1893\" data-end=\"1936\">Wahrscheinlichkeit: <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">0.4\u00d71=0.40.4 \\times 1 = 0.4<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\">0.4<\/span><span class=\"mbin\">\u00d7<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">0.4<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d7caf0f elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"d7caf0f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">\u00dcbung 4: Absorptionszeit<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-fa1e4c6 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"fa1e4c6\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1976\" data-end=\"2038\"><strong data-start=\"1976\" data-end=\"1986\">Frage:<\/strong><br data-start=\"1986\" data-end=\"1989\" \/>Erwartete Lebensdauer eines juvenilen Organismus?<\/p><p>\u00a0<\/p><p data-start=\"2040\" data-end=\"2180\"><strong data-start=\"2040\" data-end=\"2051\">L\u00f6sung:<\/strong><br data-start=\"2051\" data-end=\"2054\" \/>\u00dcber das <strong data-start=\"2063\" data-end=\"2095\">Fundamental Matrix Verfahren<\/strong> der absorbierenden Markov-Ketten:<br data-start=\"2129\" data-end=\"2132\" \/>Erwartungswert <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u22488,33\\approx 8{,}33<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">8<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mpunct\">,<\/span><\/span><span class=\"mord\">33<\/span><\/span><\/span><\/span> Zeiteinheiten.<\/p><p data-start=\"2040\" data-end=\"2180\">\u00a0<\/p><p data-start=\"2187\" data-end=\"2359\">Diese Beispiele zeigen, wie Markov-Ketten in <strong data-start=\"2232\" data-end=\"2252\">realen Szenarien<\/strong> angewendet werden \u2013 von einfachen Zufallsexperimenten bis zu komplexen Lebensdauer- oder Netzwerkmodellen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-4249bcd elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"4249bcd\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/faehigkeiten-data-analysten-alles-ueber\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Auch lesen: Die wichtigsten F\u00e4higkeiten eines Data Analysts<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-061ad91 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"061ad91\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3244ebf elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"3244ebf\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Erweiterung auf kontinuierliche Markov-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e90a43b elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"e90a43b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-80.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209271\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-80.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-80-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-80-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-80-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c7c6d03 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"c7c6d03\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Bisher haben wir <strong data-start=\"243\" data-end=\"269\">diskrete Markov-Ketten<\/strong> betrachtet, bei denen Zustands\u00e4nderungen zu festen Zeitpunkten erfolgen (z. B. Tag 1, Tag 2 \u2026).<br data-start=\"365\" data-end=\"368\" \/>In vielen Anwendungen k\u00f6nnen \u00dcberg\u00e4nge jedoch <strong data-start=\"414\" data-end=\"427\">jederzeit<\/strong> stattfinden \u2013 dies ist der Bereich der <strong data-start=\"467\" data-end=\"503\">kontinuierlichen Markov-Prozesse<\/strong>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8a95d54 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"8a95d54\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Fundamentale Unterschiede zum diskreten Modell<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8c5ee38 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"8c5ee38\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"562\" data-end=\"699\"><p data-start=\"564\" data-end=\"699\"><strong data-start=\"564\" data-end=\"583\">\u00dcbergangsmatrix<\/strong> \u2192 wird ersetzt durch die <strong data-start=\"609\" data-end=\"644\">infinitesimale Generator-Matrix<\/strong> <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">Q=(qij)Q = (q_{ij})<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">Q<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">q<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>, die <strong data-start=\"667\" data-end=\"685\">\u00dcbergangsraten<\/strong> beschreibt.<\/p><\/li><li data-start=\"700\" data-end=\"807\"><p data-start=\"702\" data-end=\"760\"><strong data-start=\"702\" data-end=\"733\">\u00dcbergangswahrscheinlichkeit<\/strong> im Zeitintervall <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">dtdt<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><span class=\"mord mathnormal\">t<\/span><\/span><\/span><\/span>:<\/p><span class=\"katex-display\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">Pij(dt)\u2248qij\u22c5dtP_{ij}(dt) \\approx q_{ij} \\cdot dt<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><span class=\"mord mathnormal\">t<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">q<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">ij<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mbin\">\u22c5<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">d<\/span><span class=\"mord mathnormal\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8e691b1 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"8e691b1\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Beispiel: Call-Center<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-73601ee elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"73601ee\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul data-start=\"840\" data-end=\"1074\"><li data-start=\"840\" data-end=\"913\"><p data-start=\"842\" data-end=\"913\"><strong data-start=\"842\" data-end=\"858\">Ankunftsrate<\/strong>: <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03bb=5\\lambda = 5<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03bb<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">5<\/span><\/span><\/span><\/span> Anrufe pro Stunde (Poisson-Prozess)<\/p><\/li><li data-start=\"914\" data-end=\"1004\"><p data-start=\"916\" data-end=\"1004\"><strong data-start=\"916\" data-end=\"932\">Service-Rate<\/strong>: <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03bc=6\\mu = 6<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03bc<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">6<\/span><\/span><\/span><\/span> Anrufe pro Stunde (mittlere Bearbeitungszeit 10 Minuten)<\/p><\/li><li data-start=\"1005\" data-end=\"1074\"><p data-start=\"1007\" data-end=\"1074\"><strong data-start=\"1007\" data-end=\"1019\">Zust\u00e4nde<\/strong>: Anzahl der aktuell in Bearbeitung befindlichen Anrufe<\/p><\/li><\/ul><p data-start=\"1076\" data-end=\"1090\"><strong data-start=\"1076\" data-end=\"1090\">\u00dcberg\u00e4nge:<\/strong><\/p><ul data-start=\"1091\" data-end=\"1203\"><li data-start=\"1091\" data-end=\"1141\"><p data-start=\"1093\" data-end=\"1141\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">n\u2192n+1n \\to n+1<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><span class=\"mrel\">\u2192<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><span class=\"mbin\">+<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span> mit Rate <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03bb\\lambda<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03bb<\/span><\/span><\/span><\/span> (neuer Anruf)<\/p><\/li><li data-start=\"1142\" data-end=\"1203\"><p data-start=\"1144\" data-end=\"1203\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">n\u2192n\u22121n \\to n-1<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><span class=\"mrel\">\u2192<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><span class=\"mbin\">\u2212<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span> mit Rate <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">n\u03bcn\\mu<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">n<\/span><span class=\"mord mathnormal\">\u03bc<\/span><\/span><\/span><\/span> (Bearbeitung abgeschlossen)<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3d5beb8 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"3d5beb8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Kontinuierliche Chapman-Kolmogorov-Gleichungen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0990448 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0990448\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>dP(t) = P(t) * Q<\/p><ul data-start=\"1299\" data-end=\"1401\"><li data-start=\"1299\" data-end=\"1374\"><p data-start=\"1301\" data-end=\"1374\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">P(t)P(t)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">P<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">t<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span> = Matrix der \u00dcbergangswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">tt<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><\/li><li data-start=\"1375\" data-end=\"1401\"><p data-start=\"1377\" data-end=\"1401\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">QQ<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">Q<\/span><\/span><\/span><\/span> = Generator-Matrix\u00a0<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cbe921f elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"cbe921f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Station\u00e4re Verteilung im kontinuierlichen Modell<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3b93fdf elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"3b93fdf\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1461\" data-end=\"1483\">Im Gleichgewicht gilt:<\/p><p><span class=\"katex-display\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0\u22c5Q=0\\pi \\cdot Q = 0<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mbin\">\u22c5<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">Q<\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><ul data-start=\"1506\" data-end=\"1615\"><li data-start=\"1506\" data-end=\"1541\"><p data-start=\"1508\" data-end=\"1541\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0\\pi<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><\/span><\/span><\/span> = station\u00e4re Verteilung<\/p><\/li><li data-start=\"1542\" data-end=\"1615\"><p data-start=\"1544\" data-end=\"1615\"><strong data-start=\"1544\" data-end=\"1566\">Flussgleichgewicht<\/strong>: Eintrittsrate = Austrittsrate f\u00fcr jeden Zustand<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-79c8b91 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"79c8b91\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Typische Anwendungen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-040aa28 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"040aa28\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1647\" data-end=\"1749\"><p data-start=\"1649\" data-end=\"1749\"><strong data-start=\"1649\" data-end=\"1675\">Systemzuverl\u00e4ssigkeit:<\/strong> Modellierung von Ausf\u00e4llen (Rate <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03bb\\lambda<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03bb<\/span><\/span><\/span><\/span>) und Reparaturen (<span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03bc\\mu<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03bc<\/span><\/span><\/span><\/span>)<\/p><\/li><li data-start=\"1750\" data-end=\"1836\"><p data-start=\"1752\" data-end=\"1836\"><strong data-start=\"1752\" data-end=\"1770\">Epidemiologie:<\/strong> SIR-Modelle mit kontinuierlichen Infektions- und Genesungsraten<\/p><\/li><li data-start=\"1837\" data-end=\"1898\"><p data-start=\"1839\" data-end=\"1898\"><strong data-start=\"1839\" data-end=\"1860\">Finanzwirtschaft:<\/strong> Diffusionsmodelle f\u00fcr Preisbewegungen<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-295ff4a elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"295ff4a\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Vorteile gegen\u00fcber dem diskreten Modell<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cc1c09c elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"cc1c09c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1951\" data-end=\"2004\">Realistischere Abbildung kontinuierlicher Ph\u00e4nomene<\/li><li data-start=\"2007\" data-end=\"2048\">Oft elegantere analytische Berechnungen<\/li><li data-start=\"2051\" data-end=\"2156\">Grundlage f\u00fcr komplexere Modelle wie <strong data-start=\"2088\" data-end=\"2110\">Diffusionsprozesse<\/strong> und <strong data-start=\"2115\" data-end=\"2156\">stochastische Differentialgleichungen<\/strong><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3b6bce2 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"3b6bce2\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f94a464 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"f94a464\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Monte-Carlo-Methoden mit Markov-Ketten (MCMC)<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-80ae448 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"80ae448\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-82.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209272\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-82.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-82-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-82-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-82-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-581a524 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"581a524\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><strong data-start=\"187\" data-end=\"204\">Markov-Ketten<\/strong> sind das Fundament moderner <em data-start=\"233\" data-end=\"269\">statistischer Simulationstechniken<\/em> \u2013 besonders, wenn Zielverteilungen zu komplex sind, um direkt daraus zu sampeln.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2a4213e elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"2a4213e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Grundprinzip von MCMC<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-847e1fe elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"847e1fe\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p><span style=\"font-weight: 400;\">Die geniale Idee besteht darin, eine Markow-Kette zu konstruieren, deren station\u00e4re Verteilung exakt der Zielverteilung entspricht, aus der wir sampeln m\u00f6chten. L\u00e4sst man die Kette ausreichend lange laufen, folgen die gewonnenen Stichproben n\u00e4herungsweise dieser Zielverteilung.<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1813db6 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1813db6\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Der Metropolis-Hastings-Algorithmus<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f393fad elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f393fad\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"799\" data-end=\"916\"><strong data-start=\"799\" data-end=\"808\">Ziel:<\/strong> Sampling aus beliebigen Verteilungen <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0(x)\\pi(x)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>, selbst wenn nur bis auf eine Normierungskonstante bekannt.<\/p><p data-start=\"918\" data-end=\"929\"><strong data-start=\"918\" data-end=\"929\">Ablauf:<\/strong><\/p><ol data-start=\"930\" data-end=\"1252\"><li data-start=\"930\" data-end=\"958\"><p data-start=\"933\" data-end=\"958\">Ausgangszustand <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">xtx_t<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">x<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><\/li><li data-start=\"959\" data-end=\"1022\"><p data-start=\"962\" data-end=\"1022\">Vorschlag <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">yy<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">y<\/span><\/span><\/span><\/span> aus Vorschlagsverteilung <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">q(y\u2223xt)q(y \\mid x_t)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">q<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">y<\/span><span class=\"mrel\">\u2223<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">x<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><\/li><li data-start=\"1023\" data-end=\"1171\"><p data-start=\"1026\" data-end=\"1063\">Berechne Akzeptanzwahrscheinlichkeit: \u03b1 = min(1, [\u03c0(y)q(x\u209c|y)] \/ [\u03c0(x\u209c)q(y|x\u209c)])<\/p><\/li><li data-start=\"1172\" data-end=\"1252\"><p data-start=\"1175\" data-end=\"1252\">Akzeptiere <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">yy<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">y<\/span><\/span><\/span><\/span> mit Wahrscheinlichkeit <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03b1\\alpha<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03b1<\/span><\/span><\/span><\/span>, sonst bleibe bei <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">xtx_t<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathnormal\">x<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathnormal mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/p><\/li><\/ol><p data-start=\"1254\" data-end=\"1324\"><strong data-start=\"1254\" data-end=\"1270\">Eigenschaft:<\/strong> Station\u00e4re Verteilung der Kette ist exakt <span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0(x)\\pi(x)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-47d0d3b elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"47d0d3b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Anwendungen in der Bayes'schen Statistik<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b7a5aff elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"b7a5aff\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1376\" data-end=\"1451\">In der Bayes\u2019schen Inferenz wollen wir aus der <strong data-start=\"1423\" data-end=\"1450\">a-posteriori-Verteilung<\/strong>:<\/p><p><span class=\"katex-display\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">\u03c0(\u03b8\u2223D)\u221d\u03c0(D\u2223\u03b8)\u22c5\u03c0(\u03b8)\\pi(\\theta \\mid D) \\propto \\pi(D \\mid \\theta) \\cdot \\pi(\\theta)<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">\u03b8<\/span><span class=\"mrel\">\u2223<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">D<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mrel\">\u221d<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">D<\/span><span class=\"mrel\">\u2223<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03b8<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mbin\">\u22c5<\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"mord mathnormal\">\u03c0<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathnormal\">\u03b8<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p><p data-start=\"1522\" data-end=\"1656\">sampeln.<br data-start=\"1530\" data-end=\"1533\" \/>MCMC macht dies m\u00f6glich, selbst wenn keine analytische Form existiert \u2013 und hat damit die moderne Statistik revolutioniert.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-597d6b5 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"597d6b5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Gibbs-Sampling<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-9b6ae8e elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"9b6ae8e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1682\" data-end=\"1759\"><p data-start=\"1684\" data-end=\"1759\">Spezialfall von Metropolis-Hastings f\u00fcr <strong data-start=\"1724\" data-end=\"1757\">mehrdimensionale Verteilungen<\/strong><\/p><\/li><li data-start=\"1760\" data-end=\"1829\"><p data-start=\"1762\" data-end=\"1829\">Aktualisiert <strong data-start=\"1775\" data-end=\"1802\">jeden Parameter einzeln<\/strong>, bedingt auf die anderen<\/p><\/li><li data-start=\"1830\" data-end=\"1909\"><p data-start=\"1832\" data-end=\"1909\">Besonders effizient bei <strong data-start=\"1856\" data-end=\"1880\">graphischen Modellen<\/strong> (z. B. Bayes\u2019sche Netzwerke)<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-97182ea elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"97182ea\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Konvergenzdiagnose<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f55e45f elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f55e45f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1939\" data-end=\"2015\">Entscheidend ist zu pr\u00fcfen, wann die Kette den Startzustand \u201evergessen\u201c hat.<\/p><p data-start=\"2017\" data-end=\"2039\"><strong data-start=\"2017\" data-end=\"2039\">Typische Methoden:<\/strong><\/p><ul data-start=\"2040\" data-end=\"2152\"><li data-start=\"2040\" data-end=\"2077\"><p data-start=\"2042\" data-end=\"2077\">Trace Plots (Zeitreihendarstellung)<\/p><\/li><li data-start=\"2078\" data-end=\"2126\"><p data-start=\"2080\" data-end=\"2126\">Gelman\u2013Rubin-Statistik (<span class=\"katex\"><span class=\"katex-mathml\">R^\\hat{R}<\/span><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\"><span class=\"mord mathnormal\">R<\/span><span class=\"accent-body\"><span class=\"mord\">^<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>-Kriterium)<\/p><\/li><li data-start=\"2127\" data-end=\"2152\"><p data-start=\"2129\" data-end=\"2152\">Autokorrelationsanalyse<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-111bcae elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"111bcae\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Zeitgen\u00f6ssische Anwendungen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f5f5d7e elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f5f5d7e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"2191\" data-end=\"2282\"><p data-start=\"2193\" data-end=\"2282\"><strong data-start=\"2193\" data-end=\"2220\">K\u00fcnstliche Intelligenz:<\/strong> Bayes\u2019sche neuronale Netze zur Unsicherheitsquantifizierung<\/p><\/li><li data-start=\"2283\" data-end=\"2356\"><p data-start=\"2285\" data-end=\"2356\"><strong data-start=\"2285\" data-end=\"2303\">Epidemiologie:<\/strong> Parameteranpassung von SIR-Modellen an reale Daten<\/p><\/li><li data-start=\"2357\" data-end=\"2443\"><p data-start=\"2359\" data-end=\"2443\"><strong data-start=\"2359\" data-end=\"2380\">Finanzwirtschaft:<\/strong> Sch\u00e4tzung stochastischer Volatilit\u00e4tsmodelle, Optionsbewertung<\/p><\/li><\/ul><div>\u00a0<\/div><div>Fazit: MCMC zeigt eindrucksvoll, wie ein abstraktes mathematisches Konzept \u2013 die Markov-Ketten \u2013 zu einem <strong data-start=\"2565\" data-end=\"2624\">unverzichtbaren Werkzeug der modernen Datenwissenschaft<\/strong> wird.<\/div>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-69608f3 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"69608f3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/julia-die-sprache-fuer-data-science-und-forschung\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Warum Julia die Zukunft der Data Science ist<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a44b75a e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"a44b75a\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ba432e0 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"ba432e0\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Markow-Ketten im \u00d6kosystem der modernen Data Science<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e34055f elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"e34055f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209269\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-88-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b4e323d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"b4e323d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Im Zeitalter von <strong data-start=\"211\" data-end=\"223\">Big Data<\/strong> und <strong data-start=\"228\" data-end=\"255\">k\u00fcnstlicher Intelligenz<\/strong> haben Markow-Ketten ihren urspr\u00fcnglichen theoretischen Rahmen weit hinter sich gelassen und pr\u00e4gen heute zahlreiche praxisnahe Anwendungen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cce4fb3 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"cce4fb3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Natural Language Processing (NLP)<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2b60dea elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2b60dea\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"443\" data-end=\"548\">Fr\u00fche Sprachmodelle basierten auf Markow-Ketten \u2013 und waren damit die Vorl\u00e4ufer moderner Modelle wie&nbsp;<a style=\"background-color: #ffffff;\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/wie-funktioniert-das-gpt-modell\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">GPT<\/a>.<\/p>\n<p data-start=\"550\" data-end=\"578\"><strong data-start=\"550\" data-end=\"578\">Typische Einsatzgebiete:<\/strong><\/p>\n<p><\/p>\n<ul data-start=\"579\" data-end=\"862\">\n<li data-start=\"579\" data-end=\"683\">\n<p data-start=\"581\" data-end=\"683\"><strong data-start=\"581\" data-end=\"613\">Automatische Textgenerierung:<\/strong>&nbsp;S\u00e4tze entstehen durch Verkettung von \u00dcbergangswahrscheinlichkeiten.<\/p>\n<\/li>\n<li data-start=\"684\" data-end=\"771\">\n<p data-start=\"686\" data-end=\"771\"><strong data-start=\"686\" data-end=\"711\">Rechtschreibkorrektur:<\/strong>&nbsp;Erkennung und Korrektur unwahrscheinlicher Zeichenfolgen.<\/p>\n<\/li>\n<li data-start=\"772\" data-end=\"862\">\n<p data-start=\"774\" data-end=\"862\"><strong data-start=\"774\" data-end=\"796\">Textklassifikation:<\/strong>&nbsp;Eigenes Markow-Modell pro Kategorie, z. B. Spam vs. Nicht-Spam.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7ff4473 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"7ff4473\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Empfehlungssysteme<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3e8760d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"3e8760d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"895\" data-end=\"978\">Plattformen wie Netflix oder Spotify modellieren Nutzerverhalten mit Markow-Ketten.<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"980\" data-end=\"1153\"><li data-start=\"980\" data-end=\"1017\"><p data-start=\"982\" data-end=\"1017\"><strong data-start=\"982\" data-end=\"995\">Zust\u00e4nde:<\/strong> konsumierte Inhalte<\/p><\/li><li data-start=\"1018\" data-end=\"1098\"><p data-start=\"1020\" data-end=\"1098\"><strong data-start=\"1020\" data-end=\"1034\">\u00dcberg\u00e4nge:<\/strong> Wahrscheinlichkeit, von einem Inhalt zum n\u00e4chsten zu wechseln<\/p><\/li><li data-start=\"1099\" data-end=\"1153\"><p data-start=\"1101\" data-end=\"1153\"><strong data-start=\"1101\" data-end=\"1110\">Ziel:<\/strong> pr\u00e4zise Vorhersage relevanter Empfehlungen<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8602bd8 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"8602bd8\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Zeitreihenanalyse im IoT<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-29e0312 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"29e0312\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1192\" data-end=\"1259\">Sensoren im\u00a0<a style=\"background-color: #ffffff;\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/internet-der-dinge-iot\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Internet der Dinge<\/a>\u00a0liefern kontinuierliche Datenstr\u00f6me.<\/p><p data-start=\"1261\" data-end=\"1277\"><strong data-start=\"1261\" data-end=\"1277\">Anwendungen:<\/strong><\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"1278\" data-end=\"1497\"><li data-start=\"1278\" data-end=\"1339\"><p data-start=\"1280\" data-end=\"1339\"><strong data-start=\"1280\" data-end=\"1301\">Anomalieerkennung:<\/strong>\u00a0Erkennen ungew\u00f6hnlicher Messmuster.<\/p><\/li><li data-start=\"1340\" data-end=\"1421\"><p data-start=\"1342\" data-end=\"1421\"><strong data-start=\"1342\" data-end=\"1368\">Predictive Maintenance:<\/strong>\u00a0Vorhersage m\u00f6glicher Ausf\u00e4lle in Industrieanlagen.<\/p><\/li><li data-start=\"1422\" data-end=\"1497\"><p data-start=\"1424\" data-end=\"1497\"><strong data-start=\"1424\" data-end=\"1446\">Energieoptimierung:<\/strong>\u00a0Analyse und Modellierung von Verbrauchsprofilen.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-9242427 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"9242427\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Cybersicherheit und Betrugserkennung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d03be4d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d03be4d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1546\" data-end=\"1609\">Markow-Ketten helfen, abweichendes Verhalten zu identifizieren.<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"1611\" data-end=\"1852\"><li data-start=\"1611\" data-end=\"1684\"><p data-start=\"1613\" data-end=\"1684\"><strong data-start=\"1613\" data-end=\"1636\">Intrusion Detection:<\/strong>\u00a0Erkennung verd\u00e4chtiger Netzwerkaktivit\u00e4ten.<\/p><\/li><li data-start=\"1685\" data-end=\"1767\"><p data-start=\"1687\" data-end=\"1767\"><strong data-start=\"1687\" data-end=\"1706\">Malware-Analyse:<\/strong>\u00a0Klassifizierung anhand typischer Systemaufruf-Sequenzen.<\/p><\/li><li data-start=\"1768\" data-end=\"1852\"><p data-start=\"1770\" data-end=\"1852\"><strong data-start=\"1770\" data-end=\"1810\">Verhaltensbasierte Authentifizierung:<\/strong>\u00a0Nutzererkennung \u00fcber Navigationsmuster.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e105814 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"e105814\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Digitales Marketing und Web Analytics<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-243b4c2 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"243b4c2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"1902\" data-end=\"1943\">Optimierung von Nutzererfahrungen im Web.<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"1945\" data-end=\"2183\"><li data-start=\"1945\" data-end=\"2012\"><p data-start=\"1947\" data-end=\"2012\"><strong data-start=\"1947\" data-end=\"1975\">Customer Journey Analyse:<\/strong>\u00a0Verstehen von Konversionspfaden.<\/p><\/li><li data-start=\"2013\" data-end=\"2105\"><p data-start=\"2015\" data-end=\"2105\"><strong data-start=\"2015\" data-end=\"2044\">Sequenzielles A\/B-Testing:<\/strong>\u00a0Messen, wie \u00c4nderungen das Nutzerverhalten beeinflussen.<\/p><\/li><li data-start=\"2106\" data-end=\"2183\"><p data-start=\"2108\" data-end=\"2183\"><strong data-start=\"2108\" data-end=\"2133\">Marketing-Attribution:<\/strong>\u00a0Beitrag einzelner Akquisekan\u00e4le quantifizieren.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-50df4f2 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"50df4f2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Bioinformatik und Genomforschung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2f1a58b elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2f1a58b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"2228\" data-end=\"2268\">Von DNA-Sequenzen bis Krankheitsverlauf.<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"2270\" data-end=\"2487\"><li data-start=\"2270\" data-end=\"2339\"><p data-start=\"2272\" data-end=\"2339\"><strong data-start=\"2272\" data-end=\"2297\">Genexpressionsanalyse:<\/strong>\u00a0Modellierung zeitlicher Genaktivit\u00e4t.<\/p><\/li><li data-start=\"2340\" data-end=\"2412\"><p data-start=\"2342\" data-end=\"2412\"><strong data-start=\"2342\" data-end=\"2370\">Genomische Epidemiologie:<\/strong>\u00a0Nachverfolgung viraler Mutationswege.<\/p><\/li><li data-start=\"2413\" data-end=\"2487\"><p data-start=\"2415\" data-end=\"2487\"><strong data-start=\"2415\" data-end=\"2442\">Personalisierte Medizin:<\/strong>\u00a0Prognose individueller Krankheitsverl\u00e4ufe.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e302bf3 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"e302bf3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Integration mit Machine Learning<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f2f40e7 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f2f40e7\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"2534\" data-end=\"2585\">Markow-Ketten und moderne KI-Modelle erg\u00e4nzen sich.<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"2587\" data-end=\"2836\"><li data-start=\"2587\" data-end=\"2656\"><p data-start=\"2589\" data-end=\"2656\"><strong data-start=\"2589\" data-end=\"2612\">Feature Engineering<\/strong> \u2013 Extraktion von Merkmalen aus Sequenzen.<\/p><\/li><li data-start=\"2657\" data-end=\"2754\"><p data-start=\"2659\" data-end=\"2754\"><strong data-start=\"2659\" data-end=\"2685\">Reinforcement Learning<\/strong> \u2013 Entscheidungsprozesse basieren auf markovschen Zustandsmodellen.<\/p><\/li><li data-start=\"2755\" data-end=\"2836\"><p data-start=\"2757\" data-end=\"2836\"><strong data-start=\"2757\" data-end=\"2775\">RNN, LSTM, GRU<\/strong> \u2013 Erweiterung klassischer Modelle um dynamisches Ged\u00e4chtnis.<\/p><\/li><\/ul><p><span style=\"font-weight: 400;\">Diese Anwendungen zeigen:\u00a0<\/span>Markow-Ketten sind kein reines Lehrbuchkonzept , sondern sie bilden ein <strong data-start=\"2923\" data-end=\"2959\">zentrales methodisches Fundament<\/strong> f\u00fcr den Umgang mit sequenziellen Daten in der heutigen digitalen Wirtschaft.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-5b13455 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"5b13455\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d01a2d1 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"d01a2d1\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Verstecktes Markow-Modell (HMM)<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-caf7628 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"caf7628\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-96.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209273\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-96.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-96-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-96-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-96-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2387507 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2387507\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"227\" data-end=\"485\">Die Grundannahmen bleiben dieselben wie bei einem klassischen Markow-Modell, jedoch mit einem entscheidenden Twist:<br data-start=\"336\" data-end=\"339\" \/>Der eigentliche Zustand (z. B. das Wetter) ist <strong data-start=\"386\" data-end=\"414\">nicht direkt beobachtbar<\/strong>, sondern muss aus indirekten Signalen (Emissionen) erschlossen werden.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1dc021e elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"1dc021e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"252\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image5_markdown.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-168589\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image5_markdown.png 512w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2023\/02\/image5_markdown-300x148.png 300w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1023b05 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1023b05\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"509\" data-end=\"805\">Stell Dir vor:<br data-start=\"523\" data-end=\"526\" \/>Ein meteorologisch exzentrischer Entf\u00fchrer sperrt Dich in einen fensterlosen Raum. Keine Sicht nach drau\u00dfen \u2013 nur ein Computer und eine Lampe.<br data-start=\"668\" data-end=\"671\" \/>Die Lampe leuchtet jeden Tag in einer bestimmten Farbe, abh\u00e4ngig vom Wetter drau\u00dfen.<br data-start=\"755\" data-end=\"758\" \/>Er gibt Dir eine <strong data-start=\"775\" data-end=\"797\">Beobachtungsmatrix<\/strong>, z. B.:<\/p><p>\u00a0<\/p><ul data-start=\"807\" data-end=\"963\"><li data-start=\"807\" data-end=\"888\"><p data-start=\"809\" data-end=\"888\">Wenn es <strong data-start=\"817\" data-end=\"827\">regnet<\/strong>, leuchtet die Lampe zu <strong data-start=\"851\" data-end=\"864\">70 % gr\u00fcn<\/strong> und zu <strong data-start=\"872\" data-end=\"885\">30 % blau<\/strong>.<\/p><\/li><li data-start=\"889\" data-end=\"963\"><p data-start=\"891\" data-end=\"963\">F\u00fcr Sonne und Wolken gibt es ebenfalls festgelegte Wahrscheinlichkeiten.<\/p><\/li><\/ul><div>\u00a0<\/div><div><p data-start=\"988\" data-end=\"1111\">Du darfst erst nach Hause, wenn Du das Wetter der n\u00e4chsten f\u00fcnf Tage korrekt vorhersagst \u2013 <strong data-start=\"1079\" data-end=\"1086\">nur<\/strong> anhand der Lampenfarben.<\/p><p data-start=\"1113\" data-end=\"1121\">Gegeben:<\/p><ul data-start=\"1122\" data-end=\"1252\"><li data-start=\"1122\" data-end=\"1173\"><p data-start=\"1124\" data-end=\"1173\">Am Tag vor Deiner Gefangenschaft hat es geregnet.<\/p><\/li><li data-start=\"1174\" data-end=\"1252\"><p data-start=\"1176\" data-end=\"1252\">Beobachtete Lampenfarben in den f\u00fcnf Tagen:<br data-start=\"1219\" data-end=\"1222\" \/><code data-start=\"1224\" data-end=\"1252\">blau, blau, rot, gr\u00fcn, rot<\/code><\/p><\/li><\/ul><div><p data-start=\"1274\" data-end=\"1321\">Du baust ein <strong data-start=\"1287\" data-end=\"1316\">verstecktes Markow-Modell<\/strong> mit:<\/p><ul data-start=\"1322\" data-end=\"1560\"><li data-start=\"1322\" data-end=\"1383\"><p data-start=\"1324\" data-end=\"1383\"><strong data-start=\"1324\" data-end=\"1348\">Verdeckten Zust\u00e4nden<\/strong> = Wetter: {Sonne, Wolken, Regen}<\/p><\/li><li data-start=\"1384\" data-end=\"1436\"><p data-start=\"1386\" data-end=\"1436\"><strong data-start=\"1386\" data-end=\"1400\">Emissionen<\/strong> = Lampenfarben: {Rot, Blau, Gr\u00fcn}<\/p><\/li><li data-start=\"1437\" data-end=\"1499\"><p data-start=\"1439\" data-end=\"1499\"><strong data-start=\"1439\" data-end=\"1472\">\u00dcbergangswahrscheinlichkeiten<\/strong> zwischen Wetterzust\u00e4nden<\/p><\/li><li data-start=\"1500\" data-end=\"1560\"><p data-start=\"1502\" data-end=\"1560\"><strong data-start=\"1502\" data-end=\"1535\">Emissionswahrscheinlichkeiten<\/strong> f\u00fcr jede Farbe je Wetter<\/p><\/li><\/ul><\/div><\/div>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-00c5881 elementor-widget elementor-widget-shortcode\" data-id=\"00c5881\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"shortcode.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-shortcode\"><script src=\"https:\/\/gist.github.com\/MaximeRighini\/04208ab8412a1dd41fd5eebfeee906d2.js\"><\/script><\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e2c5cde elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"e2c5cde\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1001\" height=\"307\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-155902.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209482\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-155902.png 1001w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-155902-300x92.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-11-155902-768x236.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1001px) 100vw, 1001px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-cee81e5 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"cee81e5\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Mit einem <strong data-start=\"1596\" data-end=\"1615\">Python-Programm<\/strong> oder per Hand mit dem <strong data-start=\"1638\" data-end=\"1661\">Viterbi-Algorithmus<\/strong> berechnest Du die <strong data-start=\"1680\" data-end=\"1709\">wahrscheinlichste Sequenz<\/strong> der Wetterzust\u00e4nde. Ergebnis:\u00a0<span style=\"font-weight: 400;\"><br \/><\/span> <b>[\u201aBew\u00f6lkt\u2018, \u201aBew\u00f6lkt\u2018, \u201aSonnig\u2018, \u201aRegen\u2018, \u201aSonnig\u2018]<\/b><\/p><p data-start=\"1807\" data-end=\"2100\">HMMs zeigen, wie man aus indirekten Messungen (z. B. Sensor-, Log- oder Verhaltensdaten) die zugrunde liegenden Prozesse rekonstruiert \u2013 ein Prinzip, das in <strong data-start=\"1997\" data-end=\"2016\">Spracherkennung<\/strong>, <strong data-start=\"2018\" data-end=\"2031\">Biometrie<\/strong>, <strong data-start=\"2033\" data-end=\"2050\">Bioinformatik<\/strong> und <strong data-start=\"2055\" data-end=\"2081\">Predictive Maintenance<\/strong> unverzichtbar ist.<\/p><p data-start=\"2102\" data-end=\"2275\"><strong data-start=\"2105\" data-end=\"2114\">Tipp:\u00a0<\/strong>Wer \u00fcber einfache HMMs hinausgehen will, lernt in modernen\u00a0<a style=\"background-color: #ffffff;\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/terminvereinbarung\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Data-Science-Trainings<\/a>, wie man mit Machine Learning Prognosen auf einem ganz neuen Level erstellt.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-bb76372 elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"bb76372\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Digitale L\u00f6sungen ohne Programmieren<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-262d432 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"262d432\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ddce03e elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"ddce03e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Vertiefung der Hidden Markov Models (HMM)<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-028a45f elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"028a45f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-95.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209274\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-95.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-95-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-95-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-95-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-47eb0b3 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"47eb0b3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Unser Beispiel mit dem \u201emeteorologischen Psychopathen\u201c bot einen spielerischen Einstieg in HMMs \u2013 doch diese Modelle sind weit mehr als ein Gimmick. Sie z\u00e4hlen zu den leistungsf\u00e4higsten Werkzeugen im statistischen Lernen und finden in zahlreichen Fachgebieten Anwendung.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a6138fc elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"a6138fc\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Mathematische Struktur eines HMM<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-d3a08c6 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"d3a08c6\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"527\" data-end=\"589\">Ein Hidden-Markov-Modell besteht aus drei zentralen Elementen:<\/p><ul data-start=\"591\" data-end=\"1053\"><li data-start=\"591\" data-end=\"696\"><p data-start=\"593\" data-end=\"696\"><strong data-start=\"593\" data-end=\"616\">Versteckte Zust\u00e4nde<\/strong><br data-start=\"616\" data-end=\"619\" \/>Die nicht direkt beobachtbare Zustandsfolge, z. B. das tats\u00e4chliche Wetter.<\/p><\/li><li data-start=\"700\" data-end=\"777\"><p data-start=\"702\" data-end=\"777\"><strong data-start=\"702\" data-end=\"719\">Beobachtungen<\/strong><br data-start=\"719\" data-end=\"722\" \/>Messbare Gr\u00f6\u00dfen, z. B. Lampenfarben oder Sensordaten.<\/p><\/li><li data-start=\"781\" data-end=\"1053\"><p data-start=\"783\" data-end=\"816\"><strong data-start=\"783\" data-end=\"814\">Wahrscheinlichkeitsmatrizen<\/strong><\/p><ul data-start=\"819\" data-end=\"1053\"><li data-start=\"819\" data-end=\"934\"><p data-start=\"821\" data-end=\"934\"><strong data-start=\"821\" data-end=\"826\">A<\/strong> \u2013 <em data-start=\"829\" data-end=\"846\">\u00dcbergangsmatrix<\/em>: beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, zwischen den versteckten Zust\u00e4nden zu wechseln.<\/p><\/li><li data-start=\"937\" data-end=\"1053\"><p data-start=\"939\" data-end=\"1053\"><strong data-start=\"939\" data-end=\"944\">B<\/strong> \u2013 <em data-start=\"947\" data-end=\"964\">Emissionsmatrix<\/em>: gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Zustand eine bestimmte Beobachtung erzeugt.<\/p><\/li><\/ul><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0136a0e elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"0136a0e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Die drei Kernprobleme der HMM-Theorie<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1592018 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"1592018\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1106\" data-end=\"1361\"><p data-start=\"1109\" data-end=\"1361\"><strong data-start=\"1109\" data-end=\"1124\">Evaluierung<\/strong><br data-start=\"1124\" data-end=\"1127\" \/><em data-start=\"1130\" data-end=\"1145\">Fragestellung<\/em>: Wie wahrscheinlich ist eine gegebene Beobachtungssequenz?<br data-start=\"1204\" data-end=\"1207\" \/><strong data-start=\"1210\" data-end=\"1220\">L\u00f6sung<\/strong>: Der <em data-start=\"1226\" data-end=\"1247\">Forward-Algorithmus<\/em> berechnet diese Wahrscheinlichkeit effizient, ohne dass die Berechnung in einer kombinatorischen Explosion endet.<\/p><\/li><li data-start=\"1363\" data-end=\"1655\"><p data-start=\"1366\" data-end=\"1655\"><strong data-start=\"1366\" data-end=\"1381\">Dekodierung<\/strong><br data-start=\"1381\" data-end=\"1384\" \/><em data-start=\"1387\" data-end=\"1402\">Fragestellung<\/em>: Welche Abfolge versteckter Zust\u00e4nde ist am wahrscheinlichsten?<br data-start=\"1466\" data-end=\"1469\" \/><strong data-start=\"1472\" data-end=\"1482\">L\u00f6sung<\/strong>: Der <em data-start=\"1488\" data-end=\"1509\">Viterbi-Algorithmus<\/em> nutzt dynamische Programmierung, um die plausibelste Sequenz zu bestimmen \u2013 z. B. die wahrscheinlichste Wetterabfolge basierend auf Lampenfarben.<\/p><\/li><li data-start=\"1657\" data-end=\"1939\"><p data-start=\"1660\" data-end=\"1939\"><strong data-start=\"1660\" data-end=\"1670\">Lernen<\/strong><br data-start=\"1670\" data-end=\"1673\" \/><em data-start=\"1676\" data-end=\"1691\">Fragestellung<\/em>: Wie lassen sich die Modellparameter aus Beobachtungsdaten sch\u00e4tzen?<br data-start=\"1760\" data-end=\"1763\" \/><strong data-start=\"1766\" data-end=\"1776\">L\u00f6sung<\/strong>: Der <em data-start=\"1782\" data-end=\"1806\">Baum-Welch-Algorithmus<\/em> (eine Variante des EM-Algorithmus) passt die Matrizen <strong data-start=\"1861\" data-end=\"1866\">A<\/strong> und <strong data-start=\"1871\" data-end=\"1876\">B<\/strong> iterativ an, um die Beobachtungsdaten bestm\u00f6glich zu erkl\u00e4ren.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-65727ae elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"65727ae\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Fortgeschrittene Anwendungen von HMMs<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0a11d8f elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0a11d8f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li data-start=\"1992\" data-end=\"2114\"><p data-start=\"1994\" data-end=\"2114\"><strong data-start=\"1994\" data-end=\"2026\">Automatische Spracherkennung<\/strong><br data-start=\"2026\" data-end=\"2029\" \/>Versteckte Zust\u00e4nde = Phoneme, Beobachtungen = akustische Merkmale im Spektrogramm.<\/p><\/li><li data-start=\"2116\" data-end=\"2287\"><p data-start=\"2118\" data-end=\"2287\"><strong data-start=\"2118\" data-end=\"2152\">Analyse biologischer Sequenzen<\/strong><br data-start=\"2152\" data-end=\"2155\" \/>Identifikation von Genen: codierende\/nicht-codierende Regionen als versteckte Zust\u00e4nde, Nukleotide (A, T, G, C) als Beobachtungen.<\/p><\/li><li data-start=\"2289\" data-end=\"2482\"><p data-start=\"2291\" data-end=\"2482\"><strong data-start=\"2291\" data-end=\"2321\">Quantitative Finanzanalyse<\/strong><br data-start=\"2321\" data-end=\"2324\" \/>Marktregime (bullish\/bearish) als versteckte Zust\u00e4nde, Asset-Renditen als Beobachtungen; Erkennung von Regimewechseln zur Optimierung von Handelsstrategien.<\/p><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-83e98dd elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"83e98dd\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Grenzen und Erweiterungen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6a4f9fc elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6a4f9fc\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p class=\"whitespace-normal break-words\">Klassische HMMs nehmen an, dass Beobachtungen bei bekanntem Zustand unabh\u00e4ngig sind. In der Praxis kann dies zu vereinfachend sein.<br data-start=\"2654\" data-end=\"2657\" \/>Erweiterungen wie <strong data-start=\"2675\" data-end=\"2697\">hierarchische HMMs<\/strong> oder <strong data-start=\"2703\" data-end=\"2733\">rekurrente neuronale Netze<\/strong> (z. B. LSTM) \u00fcberwinden diese Einschr\u00e4nkungen und erm\u00f6glichen kontextabh\u00e4ngigere Modellierungen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a8951cc e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"a8951cc\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1bf45e2 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1bf45e2\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">Konkrete Anwendungen von Markow-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1cfba55 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"1cfba55\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-89.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209275\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-89.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-89-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-89-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-89-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-059abc0 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"059abc0\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Markow-Ketten kommen in einer Vielzahl praxisrelevanter Bereiche zum Einsatz \u2013 weit \u00fcber die klassische Wettervorhersage hinaus:<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-295f026 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"295f026\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">PageRank und Suchmaschinen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0dbad84 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"0dbad84\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"346\" data-end=\"453\">Googles PageRank-Algorithmus basiert auf einer Markow-Kette, um die <b>Wichtigkeit von Webseiten<\/b> zu bewerten. Jede Seite wird dabei als ein <b>Zustand <\/b>betrachtet, w\u00e4hrend die Hyperlinks zwischen den Seiten die <b>\u00dcbergangswahrscheinlichkeiten <\/b>definieren. Die Relevanz einer Seite ergibt sich aus ihrer Wahrscheinlichkeit in der station\u00e4ren Verteilung der Kette. So entsteht eine objektive Rangfolge, die das Fundament der Suchergebnisse bildet.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0a16205 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"0a16205\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Finanz- und Versicherungswesen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-bb4b957 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"bb4b957\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"703\" data-end=\"775\">Auch im Finanz- und Versicherungsbereich sind Markow-Ketten weit verbreitet. Autoversicherer setzen sie beispielsweise ein, um <b>Bonus-Malus-Systeme<\/b> zu modellieren. Der <b>Zustand <\/b>repr\u00e4sentiert hier die Bonusklasse eines Fahrers, w\u00e4hrend die <b>\u00dcberg\u00e4nge <\/b>davon abh\u00e4ngen, wie viele Unf\u00e4lle innerhalb eines Jahres gemeldet werden. Diese Modellierung erlaubt eine aktuarisch fundierte und faire Berechnung der Versicherungspr\u00e4mien, basierend auf dem individuellen Risikoprofil.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-eb00f0b elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"eb00f0b\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Bioinformatik und Genetik<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2103d4e elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"2103d4e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>In der Bioinformatik und Genetik dienen Markow-Ketten, insbesondere versteckte Markow-Modelle (HMMs), zur <b>Modellierung der Abh\u00e4ngigkeiten zwischen aufeinanderfolgenden Nukleotiden in DNA-Sequenzen<\/b>. Damit lassen sich Gene identifizieren, Proteinstrukturen vorhersagen oder codierende Regionen im Genom lokalisieren. Die Kombination dieser mathematischen Modelle mit biologischem Fachwissen erm\u00f6glicht eine besonders pr\u00e4zise Analyse gro\u00dfer genetischer Datenmengen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c2bfa81 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"c2bfa81\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Industrielle Zuverl\u00e4ssigkeit<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7b230f3 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"7b230f3\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<h2 data-start=\"2048\" data-end=\"2081\">\u00a0<\/h2><p data-start=\"1632\" data-end=\"2046\">In der Industrie werden technische Systeme oft mithilfe von Markow-Ketten beschrieben, wobei die Zust\u00e4nde \u201efunktionsf\u00e4hig\u201c, \u201edefekt\u201c und \u201ein Wartung\u201c typischerweise vorkommen. Dieses Modell erlaubt es, die <b>Verf\u00fcgbarkeit einer Anlage zu berechnen, Wartungsintervalle zu optimieren und Reparaturkosten nachhaltig zu reduzieren<\/b>. So k\u00f6nnen Unternehmen ihre Betriebsprozesse effizienter und kosteng\u00fcnstiger gestalten.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-1dcd4d4 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"1dcd4d4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Moderne k\u00fcnstliche Intelligenz<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-464fee4 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"464fee4\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Auch in der modernen KI spielen Markow-Ketten eine Rolle, beispielsweise bei der Vorhersage des n\u00e4chsten Wortes in einem Satz.\u00a0<a style=\"background-color: #ffffff;\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/chatbot-alles-wissen\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Chatbots<\/a>, Textgeneratoren und sogar Smartphone-Tastaturen nutzen dieses Prinzip, um kontextabh\u00e4ngige Vorschl\u00e4ge zu machen. Die <b>Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das n\u00e4chste Zeichen oder Wort wird dabei direkt aus der aktuellen Sequenz<\/b> abgeleitet, was die Interaktion nat\u00fcrlicher und fl\u00fcssiger wirken l\u00e4sst.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-0df66ca elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"0df66ca\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Warteschlangentheorie<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c64e1b1 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"c64e1b1\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p data-start=\"2535\" data-end=\"2925\">In der Warteschlangentheorie, die etwa in Callcentern, Bankschaltern oder Serversystemen Anwendung findet, werden die Zust\u00e4nde durch die Anzahl wartender Kunden beschrieben. Die Modellierung mit Markow-Ketten erm\u00f6glicht es, Ressourcen pr\u00e4zise zu planen, Wartezeiten zu verk\u00fcrzen und die Servicequalit\u00e4t zu verbessern \u2013 ein entscheidender Vorteil in stark frequentierten Serviceumgebungen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-2ad159c elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"2ad159c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/large-language-model-was-ist-das\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Was genau ist eigentlich ein LLM?<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-62ed143 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"62ed143\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c86f667 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"c86f667\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h2 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\"><font size=\"6\">F\u00fcr alle, die tiefer einsteigen wollen: Unverzichtbare Referenzen zu Markow-Ketten<\/font><\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c98cb4c elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"c98cb4c\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1536\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-91.png\" class=\"attachment-full size-full wp-image-209276\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-91.png 1536w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-91-300x200.png 300w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-91-1024x683.png 1024w, https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/output1-91-768x512.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1536px) 100vw, 1536px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-65cb3cc elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"65cb3cc\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<p>Die Theorie der Markow-Ketten ist ein reiches mathematisches Feld mit einer umfassenden akademischen Literatur. Je nach Ziel \u2013 ob theoretische Vertiefung oder praxisorientierte Anwendung \u2013 lohnt sich der Blick in ausgew\u00e4hlte Standardwerke und moderne Ressourcen.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-442c49d elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"442c49d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Grundlegende Standardwerke<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ad0ceb1 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"ad0ceb1\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Norris, J.R. \u2013 <\/b><b><i>Markov Chains<\/i><\/b><b> (Cambridge University Press, 1997)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Gilt als die moderne Referenz zum Thema. Streng, aber zug\u00e4nglich. Ideal f\u00fcr ein solides mathematisches Fundament.<\/span><\/li><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Sericola, Bruno \u2013 <\/b><b><i>Cha\u00eenes de Markov \u2013 Th\u00e9orie, algorithmes et applications<\/i><\/b><b> (Hermes\/Lavoisier, 2013)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Franz\u00f6sisches Standardwerk mit starkem Fokus auf Algorithmen und praktische Anwendungen.<\/span><\/li><li><b>Baldi, Paolo et al. \u2013 <\/b><b><i>Martingales et cha\u00eenes de Markov<\/i><\/b><b> (Hermann, 2001)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Hervorragend zum Lernen mit vielen progressiv aufgebauten, vollst\u00e4ndig gel\u00f6sten \u00dcbungsaufgaben.<\/span><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a7588e9 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"a7588e9\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Fachspezifische Vertiefung<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-7e5a46e elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"7e5a46e\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>M\u00e9l\u00e9ard, Sylvie \u2013 <\/b><b><i>Mod\u00e8les al\u00e9atoires en \u00e9cologie et \u00e9volution<\/i><\/b><b> (Springer, 2016)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">F\u00fcr Anwendungen in Biologie und \u00d6kologie. Enth\u00e4lt stochastische Modelle von Populationen mit Markow-Ketten.<\/span><\/li><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Br\u00e9maud, Pierre \u2013 <\/b><b><i>Markov Chains, Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues<\/i><\/b><b> (Springer, 1998)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Technisch anspruchsvolle Referenz zu Monte-Carlo-Methoden und Warteschlangentheorie.<\/span><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c796e83 elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"c796e83\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Historische Schl\u00fcsseltexte<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-32a9051 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"32a9051\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Markov, A.A. \u2013 <\/b><b><i>Extension of the law of large numbers to dependent quantities<\/i><\/b><b> (1906)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Der Ursprungsartikel zum Konzept der Markow-Ketten. In englischer \u00dcbersetzung im <\/span><i><span style=\"font-weight: 400;\">Electronic Journal for History of Probability and Statistics<\/span><\/i><span style=\"font-weight: 400;\"> verf\u00fcgbar.<\/span><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-89fea2f elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"89fea2f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Didaktisch besonders empfehlenswert<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-547835d elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"547835d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Grinstead, C.M. &amp; Snell, J.L. \u2013 <\/b><b><i>Introduction to Probability<\/i><\/b><b> (AMS)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Sehr zug\u00e4nglicher Einstieg, besonders das Kapitel zu Markow-Ketten. Mit interaktiven Online-\u00dcbungen.<\/span><\/li><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Interaktive \u00dcbungsplattform WIMS (Universit\u00e9 de Nice Sophia Antipolis)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Online-Aufgaben mit direktem Feedback \u2013 ideal zum \u00dcben.<\/span><\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3396b9d elementor-widget elementor-widget-heading\" data-id=\"3396b9d\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"heading.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<h3 class=\"elementor-heading-title elementor-size-default\">Moderne digitale Ressourcen<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-f4e2192 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"f4e2192\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t<ul><li style=\"font-weight: 400;\" aria-level=\"1\"><b>Philippe Gay \u2013 <\/b><b><i>Markow und Dornr\u00f6schen<\/i><\/b><b> (<\/b><b><i>Images des Math\u00e9matiques<\/i><\/b><b>, 2014)<\/b><b><br \/><\/b><span style=\"font-weight: 400;\">Exzellenter popul\u00e4rwissenschaftlicher Artikel, der die Relevanz moderner Markow-Modelle auf unterhaltsame Weise vermittelt.<\/span><\/li><\/ul><p>Diese Sammlung begleitet Lernende und Forschende vom ersten Einstieg bis hin zur forschungsnahen Spezialisierung \u2013 ganz gleich, ob der Fokus auf theoretischen Grundlagen, datengetriebenen Anwendungen oder algorithmischen Umsetzungen liegt.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-3e9a79f elementor-align-center button-principale elementor-widget elementor-widget-button\" data-id=\"3e9a79f\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"button.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-button-wrapper\">\n\t\t\t<a class=\"elementor-button elementor-button-link elementor-size-sm elementor-animation-grow\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/unsere-aus-und-weiterbildungen\" target=\"_blank\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-content-wrapper\">\n\t\t\t\t\t\t<span class=\"elementor-button-text\">Entdecke die Weiterbildungen von DataScientest<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6326925 e-flex e-con-boxed e-con\" data-id=\"6326925\" data-element_type=\"container\" data-settings=\"{&quot;content_width&quot;:&quot;boxed&quot;}\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"e-con-inner\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-b026750 elementor-widget elementor-widget-html\" data-id=\"b026750\" data-element_type=\"widget\" data-widget_type=\"html.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t<script type=\"application\/ld+json\">\r\n{\r\n  \"@context\": \"https:\/\/schema.org\",\r\n  \"@type\": \"FAQPage\",\r\n  \"mainEntity\": [\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Strenge mathematische Definition\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Mathematisch gesehen ist eine Folge von Zufallsvariablen (Xn) eine Markov-Kette, wenn sie die schwache Markov-Eigenschaft erf\u00fcllt.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Die Schl\u00fcsselelemente einer Markov-Kette\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Der Zustandsraum E, die \u00dcbergangswahrscheinlichkeiten und die zeitliche Homogenit\u00e4t sind die zentralen Elemente einer Markov-Kette.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Geschichte und Grundlagen der Markov-Ketten\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Markov-Ketten wurden 1902 von Andre\u00ef Andre\u00efevitch Markov entwickelt, um abh\u00e4ngige Zufallsgr\u00f6\u00dfen im Rahmen des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen zu untersuchen.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Beobachtbares Markov-Modell\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Ein beobachtbares Markov-Modell geht davon aus, dass das Wetter eines Tages nur vom Vortag abh\u00e4ngt, um Vorhersagen zu erm\u00f6glichen.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Grundlegende Eigenschaften der \u00dcbergangsmatrix\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Alle Elemente der Matrix sind nicht-negativ und jede Zeile summiert sich zu 1.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Klassifikation der Zust\u00e4nde in einer Markov-Kette\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Zust\u00e4nde k\u00f6nnen transient, rekurrent, absorbierend, irreduzibel oder periodisch sein \u2013 je nach ihrem Langzeitverhalten.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Station\u00e4re Verteilung und Konvergenz zum Gleichgewicht\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Eine station\u00e4re Verteilung bleibt durch die Dynamik der Kette unver\u00e4ndert und wird durch \u03c0 = \u03c0P definiert.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Praktische \u00dcbungen zur Beherrschung von Markov-Ketten\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"\u00dcbungen wie das Urnenmodell, zuf\u00e4llige G\u00e4nge und Lebensdauer-Modelle helfen beim Verstehen von Markov-Ketten.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Erweiterung auf kontinuierliche Markov-Ketten\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Kontinuierliche Markov-Ketten verwenden Generator-Matrizen statt \u00dcbergangsmatrizen und modellieren Zustandswechsel jederzeit.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Monte-Carlo-Methoden mit Markow-Ketten (MCMC)\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"MCMC erzeugt Stichproben aus komplexen Verteilungen, indem es Markov-Ketten mit gew\u00fcnschter station\u00e4rer Verteilung nutzt.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Markow-Ketten im \u00d6kosystem der modernen Data Science\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Markow-Ketten werden in NLP, Empfehlungssystemen, IoT, Cybersicherheit, Webanalyse, Bioinformatik und KI eingesetzt.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Verstecktes Markow-Modell (HMM)\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Ein HMM kombiniert eine \u00dcbergangsmatrix f\u00fcr versteckte Zust\u00e4nde mit einer Emissionsmatrix f\u00fcr beobachtbare Daten.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Vertiefung der Hidden Markov Models (HMM)\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"HMMs bestehen aus versteckten Zust\u00e4nden, Beobachtungen und zwei Wahrscheinlichkeitsmatrizen f\u00fcr \u00dcberg\u00e4nge und Emissionen.\"\r\n      }\r\n    },\r\n    {\r\n      \"@type\": \"Question\",\r\n      \"name\": \"Konkrete Anwendungen von Markow-Ketten\",\r\n      \"acceptedAnswer\": {\r\n        \"@type\": \"Answer\",\r\n        \"text\": \"Sie finden Anwendung u.a. in PageRank, Versicherungen, Bioinformatik, industrieller Zuverl\u00e4ssigkeit und Warteschlangentheorie.\"\r\n      }\r\n    }\r\n  ]\r\n}\r\n<\/script>\r\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein Modell erf\u00fcllt die Markov-Eigenschaft, wenn sein Zustand zu einem Zeitpunkt T ausschlie\u00dflich vom Zustand zum Zeitpunkt T-1 abh\u00e4ngt. Kann man die Zust\u00e4nde des Modells zu jedem Zeitpunkt direkt beobachten, spricht man von einem beobachtbaren Markov-Modell. Sind die Zust\u00e4nde hingegen nicht direkt sichtbar, handelt es sich um ein verstecktes Markov-Modell (Hidden Markov Model). In diesem [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":45,"featured_media":209263,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"elementor_theme","format":"standard","meta":{"content-type":"","inline_featured_image":false},"categories":[2454],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO Premium plugin v21.7 (Yoast SEO v21.7) - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Entdecke, wie Markow-Ketten funktionieren, wof\u00fcr sie eingesetzt werden und welche modernen Anwendungen sie in Data Science, KI, &amp; Co. haben.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Ein Modell erf\u00fcllt die Markov-Eigenschaft, wenn sein Zustand zu einem Zeitpunkt T ausschlie\u00dflich vom Zustand zum Zeitpunkt T-1 abh\u00e4ngt. Kann man die\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"DataScientest\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/DataScientestEN\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2025-08-18T05:30:00+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-08-11T14:52:37+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/markov-chain.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"768\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"512\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Daniel\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@DataScientest__\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@DataScientest__\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Daniel\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"23\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\"},\"author\":{\"name\":\"Daniel\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/5a86e30c5090234fb43dd8baa83c44b0\"},\"headline\":\"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis\",\"datePublished\":\"2025-08-18T05:30:00+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-11T14:52:37+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\"},\"wordCount\":3651,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Data Science\"],\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten#respond\"]}],\"copyrightYear\":\"2025\",\"copyrightHolder\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/#organization\"}},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\",\"url\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\",\"name\":\"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2025-08-18T05:30:00+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-11T14:52:37+00:00\",\"description\":\"Entdecke, wie Markow-Ketten funktionieren, wof\u00fcr sie eingesetzt werden und welche modernen Anwendungen sie in Data Science, KI, & Co. haben.\",\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten\"]}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/\",\"name\":\"DataScientest\",\"description\":\"F\u00fchrender Anbieter von Schulungen im Bereich Data Science\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization\",\"name\":\"DataScientest\",\"url\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2024\/02\/DataScientest_icon_blue-2.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2024\/02\/DataScientest_icon_blue-2.png\",\"width\":301,\"height\":301,\"caption\":\"DataScientest\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/DataScientestEN\",\"https:\/\/twitter.com\/DataScientest__\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/datascientest-germany\/\",\"https:\/\/www.tiktok.com\/@datascientest\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/5a86e30c5090234fb43dd8baa83c44b0\",\"name\":\"Daniel\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/837acad4f2dc47e85d81cce837261670?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/837acad4f2dc47e85d81cce837261670?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Daniel\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.linkedin.com\/school\/datascientest\/\",\"user\"],\"jobTitle\":\"ing\u00e9nieur logiciel\",\"worksFor\":\"DataScientest\",\"url\":\"https:\/\/datascientest.com\/de\/author\/team-redac\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO Premium plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis","description":"Entdecke, wie Markow-Ketten funktionieren, wof\u00fcr sie eingesetzt werden und welche modernen Anwendungen sie in Data Science, KI, & Co. haben.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis","og_description":"Ein Modell erf\u00fcllt die Markov-Eigenschaft, wenn sein Zustand zu einem Zeitpunkt T ausschlie\u00dflich vom Zustand zum Zeitpunkt T-1 abh\u00e4ngt. Kann man die","og_url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten","og_site_name":"DataScientest","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/DataScientestEN","article_published_time":"2025-08-18T05:30:00+00:00","article_modified_time":"2025-08-11T14:52:37+00:00","og_image":[{"width":768,"height":512,"url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2025\/08\/markov-chain.png","type":"image\/png"}],"author":"Daniel","twitter_card":"summary_large_image","twitter_creator":"@DataScientest__","twitter_site":"@DataScientest__","twitter_misc":{"Verfasst von":"Daniel","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"23\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten"},"author":{"name":"Daniel","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/5a86e30c5090234fb43dd8baa83c44b0"},"headline":"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis","datePublished":"2025-08-18T05:30:00+00:00","dateModified":"2025-08-11T14:52:37+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten"},"wordCount":3651,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization"},"articleSection":["Data Science"],"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten#respond"]}],"copyrightYear":"2025","copyrightHolder":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/#organization"}},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten","url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten","name":"Markow-Ketten verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt: Von Theorie bis Praxis","isPartOf":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#website"},"datePublished":"2025-08-18T05:30:00+00:00","dateModified":"2025-08-11T14:52:37+00:00","description":"Entdecke, wie Markow-Ketten funktionieren, wof\u00fcr sie eingesetzt werden und welche modernen Anwendungen sie in Data Science, KI, & Co. haben.","inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/datascientest.com\/de\/was-sind-markow-ketten"]}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#website","url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/","name":"DataScientest","description":"F\u00fchrender Anbieter von Schulungen im Bereich Data Science","publisher":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/datascientest.com\/de\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"de"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#organization","name":"DataScientest","url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2024\/02\/DataScientest_icon_blue-2.png","contentUrl":"https:\/\/datascientest.com\/de\/files\/2024\/02\/DataScientest_icon_blue-2.png","width":301,"height":301,"caption":"DataScientest"},"image":{"@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/DataScientestEN","https:\/\/twitter.com\/DataScientest__","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/datascientest-germany\/","https:\/\/www.tiktok.com\/@datascientest"]},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/5a86e30c5090234fb43dd8baa83c44b0","name":"Daniel","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/datascientest.com\/de\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/837acad4f2dc47e85d81cce837261670?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/837acad4f2dc47e85d81cce837261670?s=96&d=mm&r=g","caption":"Daniel"},"sameAs":["https:\/\/www.linkedin.com\/school\/datascientest\/","user"],"jobTitle":"ing\u00e9nieur logiciel","worksFor":"DataScientest","url":"https:\/\/datascientest.com\/de\/author\/team-redac"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/209261"}],"collection":[{"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/45"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=209261"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/209261\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":209490,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/209261\/revisions\/209490"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media\/209263"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=209261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=209261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/datascientest.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=209261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}