In diesem Artikel werden wir zwei Schlüsselbegriffe der Mathematik kennen lernen: Folgen und Reihen. Um sie vollständig zu verstehen, sind einige Grundkenntnisse der Mathematik erforderlich.
Folgen und Reihen sind in der Mathematik weit verbreitet und können verwendet werden, um Folgen von mathematischen Objekten wie Polynomen, Zahlen, Mengen, Funktionen usw. zu definieren. Hier werden wir uns nur mit numerischen Folgen beschäftigen, die Folgen von reellen Zahlen sind, und die Verbindung zwischen diesen und numerischen Reihen aufzeigen.
Eine Folge besteht aus mehreren Termen und jeder Term hat einen Rang. Zum Beispiel besteht die Folge 1, 2, 3, 4, 5 aus 5 Termen (1, 2, 3, 4, 5) und ihr jeweiliger Rang ist 0, 1, 2, 3, 4, wenn man 0 als den ersten Rang der Folge ansieht. Folgen werden auch im Bereich der Data Science verwendet, insbesondere wenn man mit Zeitreihen arbeitet.
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Folgen und Reihen Mathematik: Wie definiert man eine reelle Folge?
Eine reelle Folge kann als eine Anwendung n \longrightarrow u_n von der Menge der ganzen Zahlen auf die Menge der reellen Zahlen definiert werden und wird oft als (u_n)_{n \in \mathbb{N}} bezeichnet. Man kann eine Folge sogar mit einer Funktion vergleichen, die nur ganzzahlige Werte als Argument verwendet.
Zum Beispiel ist f(n) = n, mit einer ganzen Zahl, eine reelle Folge.
Es gibt verschiedene Arten von Folgen:
Sogenannte explizite Folgen, die wie im obigen Beispiel durch eine Formel definiert sind, z. B. u_n = cos(n) oder u_n = \frac{n-1}{n^2+3}.
so genannte rekursive Folgen, bei denen ein Term von einem oder mehreren vorhergehenden Termen abhängt, z. B.: u_{n+1} = sin(u_n) oder u_{n+2} = 2u_{n+1} – u_n.
Welche Eigenschaften hat eine Folge?
Eine Folge ist konstant, wenn alle ihre Terme gleich sind: für jedes n ∈ N, un = u0.
Eine Folge ist stationär, wenn ab einem bestimmten Rang n_0 alle ihre Terme gleich sind: \exists n_0 \in \mathbb{N}, (n \geq n_0 \Rightarrow u_n=u_{n0}).
Eine Folge ist periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl N gibt, so dass \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+N} = u_n.
Eine Folge ist dann und nur dann steigend (bzw. fallend), wenn n \in \mathbb{N}, u_n leq u_{n+1} (bzw. u_{n+1} leq u_n).
Suiten verstehen
Eine numerische Folge kann als Teilsumme der Terme einer numerischen Folge definiert werden. Wenn wir die Folge (u_n)_{n \in \mathbb{N}} betrachten, können wir ihr die Reihe S(u)_n zuordnen, die als S(u)_n = u_0+u_1+…+ u_n = \sum_{k=0}^{n}u_k definiert ist.
Der Term n der mit der Folge verbundenen Reihe kann also als die Summe der ersten n+1 Terme der Folge gesehen werden.
Wenn wir zum Beispiel die Folge (u_n) = n nehmen, ist die mit dieser Folge verbundene Reihe S(u)_N = \sum_{k=0}^{N}k = \frac{N(N+1)}{2}.
Eigenschaften von Serien
Es ist oft interessant zu sehen, ob eine Zahlenreihe konvergiert oder divergiert. Man sagt, dass eine Reihe mit dem allgemeinen Term (u_n) konvergiert (bzw. divergiert), wenn die Folge (S_N) der Partialsummen konvergiert (bzw. divergiert). Wenn die Reihe konvergiert, ist der Grenzwert \limits_{N \rightarrow + \infty} S_N = \limits_{N \rightarrow + \infty} \sum_{n = 0}^{N} u_n wird mit \sum_{n = 0}^{{infty} u_n bezeichnet und wird als Summe der Reihe bezeichnet.
Beispiel für eine divergierende Reihe: Die Reihe, die mit der Folge (u_n) = n, S(u)_N = \frac{N(N+1)}{2} verbunden ist, divergiert.
Beispiel für eine konvergierende Reihe: Die Reihe, die mit einer geometrischen Folge mit der Vernunft q verbunden ist, S(u)_N = \frac{1 – q^{N+1}}{1 – q} konvergiert, wenn und nur wenn |q| < 1.
Welche Verbindungen bestehen zwischen Fortsetzungen und Serien?
Mathe Folgen und Reihen: Wir bilden ständig eine Reihe aus einer Folge und erinnern uns daran, dass eine Reihe die Teilsumme der ersten Terme der Folge ist. Man kann also leicht sagen, dass das Verhalten der Reihe S(u_N) eng mit dem der Reihe (u_n) verbunden ist.
Umgekehrt kann man, um eine Folge zu untersuchen, leicht auf eine Reihe zurückgreifen. Wenn man zum Beispiel die Monotonie einer Folge (u_n) untersuchen will (auf Wachstum oder Abnahme prüfen), kann man eine Nebenfolge (v_n) betrachten, die definiert ist durch : v_0 = 0 und v_n = u_n – u_{n-1}. Dann erhält man u_n = \sum_{k=0}^{n} v_k. (u_n) ist also die Partialsumme der Ordnung n der Reihe mit dem Term (v_n).
Fazit
Du weißt jetzt, was Zahlenfolgen und Zahlenreihen sind und wie diese beiden mathematischen Begriffe zusammenhängen. Du kennst auch einige Eigenschaften dieser verschiedenen mathematischen Objekte. Man kann diese Begriffe natürlich auch auf andere Arten von Objekten wie Polynome, Funktionen, Mengen usw. ausdehnen.
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