Dans cet article nous allons voir deux concepts clés des mathématiques : les suites et séries. Il est nécessaire d’avoir quelques notions basiques de mathématiques pour les comprendre entièrement.
Les suites sont largement utilisées dans les mathématiques et peuvent être utilisées pour définir des suites d’objets mathématiques comme des polynômes, des nombres, des ensembles, des fonctions … Ici, on s’intéressera seulement aux suites numériques qui sont des suites de nombres réels et on montrera le lien qu’il existe entre ces dernières et les séries numériques.
Une suite est composée de plusieurs termes et chaque terme possède un rang. Par exemple, la suite 1, 2, 3, 4, 5 est composée de 5 termes (1,2,3,4,5) et leur rang respectif est 0,1,2,3,4 si l’on considère 0 comme étant le premier rang de la suite. On utilise également les suites dans le domaine de la Data Science, notamment lorsque l’on travaille avec des séries temporelles.
Comment définir une suite réelle ?
Une suite réelle peut être définie comme une application n \longrightarrow u_n allant de l’ensemble des nombres entiers vers l’ensemble des nombres réels et est souvent notée (u_n)_{n \in \mathbb{N}} . On peut même apparenter une suite à une fonction qui ne prendrait en argument que des valeurs entières.
Par exemple, f(n) = n, avec un nombre entier, est une suite réelle.
Il existe plusieurs types de suite :
- les suites dites explicites qui sont définies par une formule comme dans l’exemple ci-dessus, par exemple : u_n = cos(n) ou u_n = \frac{n-1}{n^2+3}
- les suites dites récurrentes dont le terme dépend d’un ou plusieurs termes le précédent, par exemple : u_{n+1} = sin(u_n) ou u_{n+2} = 2u_{n+1} – u_n
Quelles sont les propriétés d'une suite ?
Une suite est constante si tous ses termes sont égaux : pour tout n ∈ N, un = u0.
Une suite est stationnaire si, à partir d’un certain rang n_0, tous ses termes sont égaux : \exists n_0 \in \mathbb{N}, (n \geq n_0 \Rightarrow u_n=u_{n0}).
Une suite est périodique si il existe un entier N positif tel que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+N} = u_n.
Une suite est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si n \in \mathbb{N}, u_n \leq u_{n+1} ( respectivement u_{n+1} \leq u_n).
Comprendre les suites
Une suite numérique peut être définie comme une somme partielle des termes d’une suite numérique. Si on considère la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}}, on peut lui associer la série S(u)_n définie comme S(u)_n = u_0+u_1+…+ u_n = \sum_{k=0}^{n}u_k
Le terme n de la série associée à la suite peut être donc vu comme la somme des n+1 premiers termes de la suite.
Par exemple, si on prend la suite (u_n) = n, la série associée à cette série est S(u)_N = \sum_{k=0}^{N}k = \frac{N(N+1)}{2}.
Propriétés des séries
Il est souvent intéressant de voir si une série numérique converge ou diverge. On dit qu’une série de terme général (u_n) converge (respectivement diverge) si la suite (S_N) des sommes partielles converge (respectivement diverge). Si la série converge, la limite \lim\limits_{N \rightarrow + \infty} S_N = \lim\limits_{N \rightarrow + \infty} \sum_{n = 0}^{N} u_n est notée \sum_{n = 0}^{\infty} u_n et est appelée somme de la série.
Exemple de série divergente : la série associée à la suite (u_n) = n, S(u)_N = \frac{N(N+1)}{2} diverge
Exemple de série convergente : la série associée à une suite géométrique de raison q, S(u)_N = \frac{1 – q^{N+1}}{1 – q} converge si et seulement si |q| < 1.
Quels liens existe-t-il entre les suites et les séries ?
On construit tout le temps une série à partir d’une suite et on rappelle qu’une série et la somme partielles des premiers termes de la suite. On peut donc facilement dire que le comportement de la série S(u_N) est intimement lié à celui de la suite (u_n).
A l’inverse, pour étudier une suite on peut facilement avoir recours à une série. Par exemple, si on veut étudier la monotonie d’une suite (u_n) (vérifier la croissance ou la décroissance), on peut considérer une suite annexe (v_n) définie par : v_0 = 0 et v_n = u_n – u_{n-1}. On obtient alors u_n = \sum_{k=0}^{n} v_k. (u_n) est donc la somme partielle d’ordre n de la série de terme (v_n).
Conclusion
Vous savez maintenant ce que sont les suites et les séries numériques et le lien qui existe entre ces deux notions mathématiques. Vous connaissez aussi quelques propriétés de ces différents objets mathématiques. On peut bien sûr étendre ces notions à d’autres types d’objets tels que les polynômes, les fonctions, les ensembles, etc.
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