Arithmetik ist ein grundlegender Zweig der Mathematik, der sich mit den elementaren Eigenschaften von Zahlen und den Grundoperationen beschäftigt. Oft als einfaches Berechnungsmittel wahrgenommen, spielt sie in Wirklichkeit eine wesentliche Rolle in der Data Science und der KI. Entdecke alles, was du wissen musst!
Die Wurzeln der Arithmetik liegen in alten Zivilisationen und reichen mehr als 20.000 Jahre zurück. Oft wird sie als der elementarste Zweig der Mathematik betrachtet.
Dennoch ist sie auch eine fundamentale Säule vieler wissenschaftlicher und technischer Disziplinen. Dies gilt insbesondere für die Data Science, wo sie eine oft unterschätzte, aber entscheidende Rolle spielt…
Was also ist ihr Nutzen für die Datenwissenschaft, und wie nutzen Data Scientists sie im Alltag? Das wirst Du im Folgenden in diesem Artikel entdecken!
Was ist Arithmetik?
Die frühesten Spuren arithmetischer Berechnungen wurden auf eingekerbten Knochen aus dem späten Paläolithikum entdeckt.
Im Laufe der Jahrhunderte entwickelten sich in verschiedenen Kulturen, von altägyptischen über mesopotamische bis hin zu antiken griechischen und indischen Kulturen, Zahlsysteme und Berechnungsmethoden.
Das Wort „Arithmetik“ selbst kommt aus dem Griechischen „arithmos“, was „Zahl“ bedeutet. Die alten Griechen, insbesondere Pythagoras und seine Anhänger, trugen wesentlich zur Weiterentwicklung dieser Disziplin bei.
Sie basiert auf vier grundlegenden Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Diese Operationen bilden die Grundlage aller fortgeschritteneren mathematischen Berechnungen.
Darüber hinaus befasst sich die Arithmetik auch mit den intrinsischen Eigenschaften von Zahlen. Zum Beispiel unterscheidet man gerade und ungerade Zahlen, Primzahlen (nur durch 1 und sich selbst teilbar), zusammengesetzte Zahlen (mit mehr als zwei Teilern) sowie rationale und irrationale Zahlen.
Ein weiteres Konzept ist das der fraktionalen und dezimalen Darstellungen von Zahlen, die es ermöglichen, nicht ganzzahlige Mengen auszudrücken und genauere Berechnungen durchzuführen.
Dennoch sollte man nicht glauben, dass Arithmetik sich auf die Grundmathematik beschränkt! Obwohl sie oft damit in Verbindung gebracht wird, erstreckt sie sich auch auf fortgeschrittenere Bereiche wie die Zahlentheorie.
Dieser Zweig untersucht die tiefgreifenden Eigenschaften von ganzen Zahlen und ihre Beziehungen und behandelt komplexe Probleme wie die Goldbach-Vermutung oder den letzten Fermat’schen Satz.
Die modulare Arithmetik oder Kongruenzarithmetik ist ein System, bei dem Zahlen „umlaufen“, nachdem sie einen bestimmten Wert (das Modul) erreicht haben. Dieser Zweig ist besonders wichtig in der Kryptographie und Informatik.
So ist die Arithmetik weit davon entfernt, sich auf die einfachen Berechnungen zu beschränken, die in der Grundschule gelehrt werden, sondern stellt ein reichhaltiges und komplexes Gebiet dar und bildet die Grundlage vieler mathematischer Zweige und deren praktischer Anwendungen… insbesondere der Data Science!
Die Rolle der Arithmetik in der Data Science
In jeder Phase des Data Science Prozesses erweist sich die Arithmetik als unverzichtbar. Von Anfang an, beim initialen Datenverarbeitungsprozess, ist sie von entscheidender Bedeutung.
1. Datenbereinigung und -verarbeitung
Die Datenbereinigung oder Data Cleaning beinhaltet oft grundlegende Operationen. Zum Beispiel kann man Ausreißer mithilfe von arithmetisch berechneten Schwellenwerten identifizieren und ersetzen.
Man kann Daten auch normalisieren, indem man den Durchschnitt subtrahiert und durch die Standardabweichung teilt oder fehlende Werte durch Berechnung von Mittelwerten oder Medianen imputiert.
Ebenfalls beruhen deskriptive Statistiken stark auf Arithmetik. Die Berechnung des Durchschnitts ist die Summe der Werte geteilt durch deren Anzahl, die Berechnung des Medians ist die Bestimmung des mittleren Werts nach Sortierung und die Berechnung der Standardabweichung ist die Quadratwurzel des Durchschnitts der quadrierten Abweichungen vom Durchschnitt.
2. Datenanalyse
Im weiteren Verlauf, während der Datenanalyse, basieren Leistungskennzahlen (KPI) in der Business Intelligence ebenfalls auf arithmetischen Berechnungen.
Ein Beispiel ist die Konversionsrate, die sich aus der Division der Anzahl der Konversionen durch die Gesamtzahl der Besucher ergibt.
Das prozentuale Wachstum wird dagegen gemessen, indem man den alten Wert vom neuen subtrahiert und dann durch den alten teilt, gefolgt von einer Multiplikation mit 100.
Andere Techniken nutzen die Arithmetik, um die Daten vergleichbar zu machen. Dies ist zum Beispiel der Fall bei der Min-Max-Normalisierung (x-min) / (max–min) und der Z-Score-Standardisierung (x-Mittelwert) / Standardabweichung.
3. Modellierung
Der nächste Schritt ist die Modellierung, und auch hier basieren viele Machine Learning-Algorithmen tatsächlich auf arithmetischen Operationen.
Die lineare Regression ist die Berechnung der Koeffizienten durch die Methode der kleinsten Quadrate, während das k-Means-Clustering die iterative Berechnung der Zentroiden als arithmetische Mittelwerte der zugewiesenen Punkte beinhaltet.
Zur Bewertung der Modellleistung verwenden die Metriken ebenfalls die Arithmetik. Die Genauigkeit wird mit der Formel „True Positives / (True Positives + False Positives)“ gemessen.
Der Rückruf basiert auf der Formel „True Positives / (True Positives + False Negatives)“ und der F1-Score ergibt sich aus dem harmonischen Mittelwert von Genauigkeit und Rückruf.
4. Datenvisualisierung oder DataViz
Wie du vielleicht weißt, ist es nach der Datenanalyse unerlässlich, die Ergebnisse in Form von klaren und intuitiven Visualisierungen zu präsentieren, damit sie auch von nicht-technischen Stakeholdern verstanden werden können.
Dabei erfordert die Erstellung von Visualisierungen arithmetische Berechnungen. Histogramme beinhalten die Berechnung von Intervallen und das Zählen von Vorkommen, während Kreisdiagramme auf der Berechnung von Winkeln beruhen, die proportional zu den Frequenzen sind.
Man nutzt auch die Arithmetik für die Skalierung der Achsen, um die geeigneten Maßstäbe zu bestimmen. Die Berechnung der minimalen und maximalen Werte ermöglicht die Festlegung der Achsengrenzen. Ebenso muss man die regelmäßigen Intervalle für die Skalierungen festlegen.
Ein unschätzbarer Vorteil für Data Scientists
Ein solides Verständnis der Arithmetik ermöglicht es Data Scientists, neue Ansätze basierend auf ihren Prinzipien zu entwickeln, intuitiv das Funktionieren von Algorithmen zu verstehen und statistische Ergebnisse korrekt zu interpretieren.
Dies ist auch sehr nützlich für das Debugging und die Ergebnisüberprüfung. Mit der Arithmetik kann man die Berechnungen eines Algorithmus manuell überprüfen, Fehler identifizieren im Code, indem man die erwarteten und erhaltenen Ergebnisse vergleicht, und Konsistenztests an den Daten und Ergebnissen durchführen.
Außerdem hilft sie bei der Optimierung der Leistung, indem komplexe Berechnungen vereinfacht werden, um die Effizienz des Codes zu verbessern, und geeignete Datenstrukturen basierend auf der arithmetischen Komplexität gewählt werden.
Sie ist auch ein Mittel für die Implementierung effizienter numerischer Approximationen, wenn exakte Berechnungen zu kostspielig sind. Aus all diesen Gründen ist Arithmetik ein wertvoller Verbündeter des Data Scientists!
Eine erforderliche Expertise, um Herausforderungen zu meistern
Die Anwendung der Arithmetik in der Data Science kann sich als komplizierter erweisen, als es auf den ersten Blick scheint. Zunächst einmal sei daran erinnert, dass Computer eine binäre Darstellung von Zahlen verwenden, die zu Präzisionsproblemen führen kann.
Zum Beispiel können Gleitkommazahlen nicht genau alle Dezimalwerte darstellen. Dies kann zu Rundungsfehlern führen.
Sehr große oder sehr kleine Zahlen können auch die Darstellungsgrenzen überschreiten, was zu Berechnungsfehlern führt. Und das Subtrahieren zweier fast gleicher Zahlen kann zu einem signifikanten Präzisionsverlust führen.
Die Lösung besteht in der Verwendung von Bibliotheken für Berechnungen mit beliebiger Präzision oder fortschrittlichen numerischen Berechnungstechniken.
Ein weiteres Problem: Die traditionelle Arithmetik kann sich angesichts von Big Data als schwierig erweisen. Selbst die einfachsten Operationen können zeitaufwändig werden, wenn sie milliardenfach wiederholt werden.
Die Speicherung der Zwischenergebnisse kann auch den verfügbaren Speicher überlasten. Darüber hinaus sind einige Operationen schwer effizient zu parallelisieren.
Der beste Weg, dieses Hindernis zu umgehen, ist die Verwendung von Sampling-Techniken, approximativen Algorithmen oder verteiltem Rechnen.
Einige Algorithmen des Machine Learning und der KI gehen auch über den Rahmen der einfachen Arithmetik hinaus. Dies ist der Fall bei tiefen neuronalen Netzen, die Operationen auf multidimensionalen Tensoren verwenden.
Viele Lernalgorithmen nutzen auch komplexe Optimierungstechniken, die nicht nur auf elementarer Arithmetik basieren. Dies gilt auch für einige Bayessche oder probabilistische Modelle, die viel komplexere Berechnungen erfordern.
Deshalb kann eine gründliche Ausbildung in fortgeschrittener Mathematik und wissenschaftlichem Rechnen für Data Scientists unverzichtbar sein.
Fazit: Arithmetik, eine essenzielle mathematische Grundlage in der Datenwissenschaft
Wie du in diesem Artikel entdecken konntest, bildet die Arithmetik die Basis für Datenverarbeitungs- und Analyseoperationen und ermöglicht die Bewertung und Interpretation der Ergebnisse.
Sie steht auch im Herzen vieler Machine Learning- und Statistikalgorithmen, wodurch ihre Beherrschung unverzichtbar für jeden Data Scientist ist.
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