Les problèmes de satisfaction de contraintes, ou CSP (pour Constraint satisfaction problem en anglais) sont des problèmes mathématiques dans lesquels un ensemble d’objets doit remplir un certain nombre de contraintes.
Ces problèmes, grandement étudiés en recherche opérationnelle et en intelligence artificielle, nécessitent des méthodes de résolution spécifiques comme le backtracking ou les algorithmes de propagation de contraintes. Des exemples de problèmes célèbres pouvant être modélisés par un CSP sont le problème du sac à dos, le problème des huits dames ou encore le sudoku.
Qu’est-ce que le backtracking ?
Le retour sur trace ou backtracking est une technique de recherche qui permet de résoudre des problèmes complexes en explorant de manière récursive des combinaisons de choix possibles pour parvenir à une solution. Il est couramment utilisé dans la résolution de problèmes de recherche, d’optimisation, de planification et de jeux. Le backtracking est basé sur une recherche en profondeur qui explore des options jusqu’à ce qu’une solution soit trouvée ou que toutes les possibilités aient été épuisées.
Structure de données arborescente
Le backtracking repose sur une structure de données arborescente, où chaque nœud représente une étape de décision dans la résolution du problème. Les branches de l’arbre représentent les différentes options ou décisions possibles à chaque étape. Au fur et à mesure que l’algorithme progresse, il effectue un parcours en profondeur des différentes branches de l’arbre afin d’évaluer si elles mènent à une solution ou non.
Déroulement de l’algorithme
Le backtracking suit une approche récursive pour résoudre un problème. Voici les différentes étapes d’exécution de cet algorithme :
Étape 1 – Choix : L’algorithme commence par faire un choix parmi toutes les options possibles. Ce choix est basé sur l’état actuel du problème.
Étape 2 – Validation : Après avoir fait un choix, l’algorithme vérifie que les contraintes du problème sont toujours respectées. Si c’est le cas, il retourne à l’étape 1 afin de continuer le parcours en profondeur. Si ce n’est pas le cas, il revient en arrière (backtrack) pour essayer une autre alternative. C’est une des différences avec les algorithmes de résolution par force brute basiques, le backtracking peut éliminer des branches sans avoir besoin de les explorer jusqu’au bout.
Étape 3 – Retour en arrière (Backtracking) : Si à un moment donné, l’algorithme se rend compte qu’aucun des choix d’une branche ne va mener à une solution ou qu’il a exploré toutes les options possibles sans aboutir à un état final valide, il revient en arrière pour explorer d’autres alternatives. Cela implique de remonter l’arbre de décision pour parcourir d’autres branches encore inexplorées.
Étape 4 – Solution : L’algorithme continue de parcourir la branche de l’arbre et de faire des choix en répétant les étapes 1 à 3 jusqu’à ce qu’il atteigne une solution valide. Une solution est généralement définie comme un état final du problème qui satisfait les contraintes ou les objectifs fixés.
Exemple d'application du backtracking
Pour illustrer le concept de backtracking, prenons un exemple concret : la résolution d’une grille de sudoku. Dans un jeu de sudoku, l’objectif est de remplir une grille de 9×9 de telle manière que chaque ligne, chaque colonne et chaque sous-grille de 3×3 contienne tous les chiffres de 1 à 9 sans répétition. Ici nous utiliserons une grille de taille 4×4 afin de simplifier l’illustration
Le backtracking peut être utilisé pour résoudre un sudoku de la manière suivante :
Étape 1 – Choix : Commencez par choisir une case vide dans la grille. Remplissez cette case avec un chiffre possible (de 1 à 4).
Étape 2 – Validation : Vérifiez si la grille est toujours valide après avoir fait ce choix. Si c’est le cas, retournez à l’étape 1. Sinon, revenez en arrière pour essayer un autre chiffre dans la case.
Ici le 1 noté ne respecte pas les règles, on essaye donc un 2 à la place.
Étape 3 – Backtracking : Si à un moment donné, vous ne pouvez pas trouver un chiffre valide pour une case, revenez en arrière pour essayer une autre valeur dans la case précédente, et ainsi de suite.
Ici on ne peut placer aucun chiffre tout en respectant les règles, on doit donc changer le chiffre placé juste avant, et ceux précédents si nécessaire.
Étape 4 – Solution : Répétez les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que toutes les cases soient remplies et vérifient les contraintes du jeu, ce qui signifie que vous avez trouvé une solution valide pour le sudoku.
Avantages du backtracking
Le backtracking présente plusieurs avantages en tant qu’approche de résolution de problèmes :
- Exhaustivité : Il garantit que toutes les solutions valides possibles sont explorées, ce qui le rend utile pour la recherche de solutions optimales.
- Efficacité : Le backtracking peut se révéler très efficace, notamment dans les problèmes dont les contraintes sont fortes, ce qui permet d’éliminer rapidement certaines options.
- Adaptabilité : Il peut être appliqué à une variété de problèmes, car il est basé sur une structure arborescente générale.
Limites du backtracking
Malgré ses avantages, le backtracking présente certaines limitations :
- Explosion combinatoire : Dans certains problèmes, le nombre de combinaisons à explorer peut augmenter de manière exponentielle, comme dans le cas du problème du voyageur de commerce, où si le calcul d’un chemin se fait en 1 microseconde, il faut presque deux millénaires pour calculer tous les chemins passant par 20 points.
- Complexité : La mise en œuvre du backtracking peut être complexe, en particulier dans les problèmes où la définition des choix, des contraintes et des critères d’arrêt est compliquée.
- Pas de garantie de convergence : Le backtracking peut ne pas converger vers une solution dans certains cas, par exemple, lorsque la solution n’existe pas, ou être bloqué dans des boucles infinies si le problème est mal défini.
Optimisation du backtracking
Il existe plusieurs techniques pour optimiser le processus de backtracking, notamment :
- Heuristiques : L’utilisation de règles et d’heuristiques intelligentes pour guider la recherche vers les branches les plus prometteuses de l’arbre de décision.
- Élagage (pruning) : L’identification et l’élimination précoce de certaines branches de l’arbre qui ne peuvent pas conduire à une solution, ce qui réduit l’explosion combinatoire.
- Mémoire : La mémorisation (caching) des états explorés pour éviter de recalculer plusieurs fois les mêmes configurations lorsqu’elles peuvent être obtenues de plusieurs manières différentes.
Applications du backtracking en IA
Le backtracking est largement utilisé dans divers domaines de l’intelligence artificielle et de la recherche opérationnelle. Voici quelques exemples d’applications :
- Jeux de logique : La résolution de jeux de logique, tels que le sudoku, est un exemple classique d’utilisation du backtracking.
- Recherche de chemin : Dans les problèmes de recherche de chemin, comme la recherche de chemins optimaux dans un graphe, le backtracking peut être utilisé pour explorer les différentes options de chemin.
- Jeu d’échecs et autres jeux de société : Dans les jeux de société tels que les échecs, le backtracking peut être utilisé pour évaluer les séquences d’actions possibles et choisir la meilleure stratégie.
Conclusion
Le backtracking est une technique puissante en intelligence artificielle pour résoudre des problèmes complexes en explorant de manière systématique les différentes combinaisons d’actions ou de choix possibles. Il repose sur une structure arborescente de décision et suit un processus itératif de choix, de validation et de retour en arrière.
Bien qu’il présente des avantages, le backtracking peut être confronté à des problèmes d’explosion combinatoire et nécessite souvent des techniques d’optimisation pour être efficace. Il est largement utilisé dans des domaines tels que les jeux, la planification, la recherche de chemin et la résolution de casse-têtes, démontrant ainsi sa polyvalence dans la résolution de problèmes complexes en intelligence artificielle.
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