Prenons une particule de taille micrométrique qui baigne dans une fluide. Cette particule va posséder un mouvement aléatoire dû aux chocs d’autres petites particules sur cette « grosse » particule. C’est le principe du mouvement brownien également appelé processus de Wiener.
Historiquement, c’est en 1827 que le botaniste Robert Brown découvrit le mouvement brownien. Il observa le mouvement chaotique de grains de pollen dans l’eau.
À partir de 1857, le travail de Robert Brown commence à susciter un grand intérêt et plusieurs scientifiques définissent les propriétés du mouvement brownien.
Il faut attendre Albert Einstein en 1905 qui va décrire de façon quantitative le mouvement brownien. Il relie notamment la moyenne quadratique de la distance parcourue à la durée de l’observation. Ses calculs seront validés expérimentalement par Jean Perrin. Les expériences de ce dernier permettront également de déterminer laconstante d’Avogadro.
Le mouvement brownien possède des applications dans différents domaines. Dans le domaine de la physique, il est notamment utilisé pour déterminer le mouvement de petites particules tels que les aérosols dans l’air par exemple. Une force aléatoire est prise en compte (notamment dans les équations de Langevin).
Le mouvement brownien possède également des applications mathématiques avec des processus stochastiques : des modèles probabilistes qui permettent d’étudier un phénomène aléatoire au cours du temps. Cela est très utilisé en probabilités, et il y existe plusieurs applications dans le domaine de la finance.
L’application du mouvement brownien dans les micromanipulations de molécules d’ADN
1. Le principe
A titre d’exemple, nous allons nous intéresser à une des applications physiques du mouvement brownien qui est la micromanipulation de la molécule d’ADN. Il est possible de micromanipuler des molécules d’ADN grâce à divers outils comme des pinces optiques ou des pinces magnétiques.
Le principe de micromanipulation est le suivant :
- On fixe une extrémité de la molécule d’ADN sur un capillaire en verre.
- Sur l’autre extrémité, on fixe une bille magnétique. Cette bille sera placée dans le champ d’un aimant.
- Le déplacement des aimants va permettre de tirer la molécule d’ADN ou la faire tourner sur elle-même afin de créer des torsades.
2. L’intérêt du mouvement brownien
Une fois ce contexte mis en place, on peut se demander où est-ce que le mouvement brownien intervient ?
La force nécessaire pour étirer la molécule d’ADN donne des informations assez importantes sur notre macromolécule.
Cette force est très faible (ordre du piconewton c’est-à-dire 10-12 Newton). Étant faible, elle n’est pas facilement mesurable à partir d’appareils de mesure classiques qui sont limités par l’agitation thermique.
Cependant, le mouvement brownien va permettre de mesurer la force. En effet, l’agitation thermique va créer une force aléatoire qui écartera la bille de sa position d’équilibre. Des calculs permettent de démontrer que la force d’étirement de la molécule d’ADN est directement reliée aux fluctuations quadratiques moyennes.
Maintenant il nous reste à déterminer les fluctuations quadratiques moyennes. Pour ce faire, il faut s’inspirer de l’expérience de Jean Perrin.
- Une première étape est d’enregistrer les mouvements de la particule sphériqueplacée à l’extrémité de la molécule d’ADN à l’aide d’une caméra reliée à un microscope.
- Dans un deuxième temps, des logiciels de reconnaissance vidéo permettent d’accéder aux coordonnées de la bille à chaque instant. Puis les coordonnées permettent de calculer les fluctuations browniennes.
3. L’utilisation de Python pour accéder aux coordonnées de la bille
À partir de la vidéo, on peut accéder aux coordonnées de la bille de manière beaucoup plus complexe grâce à Python.
En effet, une fois que la vidéo est convertie en succession d’images. On utilise la bibliothèque imageio de Python. Elle permet de travailler avec les images en les présentant comme des tableaux de 3 dimensions. Les deux premières dimensions permettent de déterminer la position d’un pixel et la troisième dimension nous renseigne sur l’intensité de couleur (ce qui nous donnera la couleur du pixel). Une fois que les images sont converties en nuances de gris, on peut se ramener à un tableau à deux dimensions vu que les valeurs de la troisième dimension seront toutes égales (car l’image est en nuances de gris). Il suffit alors de créer des fonctions qui permettent, par une méthode barycentrique, de déterminer les coordonnées du pixel d’intensité maximale. En réitérant ce processus sur la succession d’images, nous obtenons à la fin nos coordonnées de la bille à chaque instant.
L’accès aux coordonnées permet d’accéder aux fluctuations browniennes, puis à la force d’étirement de la molécule d’ADN.
Ainsi, le mouvement brownien est très utile dans la micromanipulation de la molécule d’ADN. Le travail sur l’analyse de la vidéo est également un élément très important. Comme nous l’avons vu, ce processus peut se faire à l’aide de Python.
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